Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

P (x)
{x : x /∈ x}
M = {x : x − }
A ∪B
def
= {x : x ∈ A ∨x ∈ B} A ∪B
A B
A ∩B
def
= {x : x ∈ A ∧x ∈ B} A ∩ B
A B
A − B
def
= {x : x ∈ A ∧ x /∈ B} A − B
A B
A \ B
A −
·
B
def
= {x : (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈
B ∧x /∈ A)} A −
·
B A B
B A
A −
·
B = (A − B) ∪ (B − A).
A M B A −
4
B
A
c
def
= {x : x /∈ A} A {A
U A
A
c
U A
Ëåêöèÿ 3                                                               23


êîòîðûå îáëàäàþò ñâîéñòâîì P (x) (ôàêòè÷åñêè, êàæäûé êëàññ îòîæäå-
ñòâëÿþòñÿ ñî ñâîéñòâîì, êîòîðûì ìîæåò îáëàäàòü èëè íåò ìíîæåñòâî ).
    Ïðè òàêîì ïîäõîäå âñå ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ îäíîâðåìåííî êëàññàìè, íî
íå âñå êëàññû ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè. Ìíîæåñòâà  ïî îïðåäåëåíèþ ýòî
òîëüêî òå êëàññû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè êàêîãî-íèáóäü äðóãî-
ãî êëàññà. À ïàðàäîêñà íå âîçíèêàåò, ïîòîìó ÷òî, íàïðèìåð, êëàññ âñåõ
êëàññîâ, íå ïðèíàäëåæàùèõ ñàìèì ñåáå, ïîñòðîèòü íå óäàåòñÿ, òàê êàê
       / x}  ýòî êëàññ âñåõ ìíîæåñòâ íå ïðèíàäëåæàùèõ ñàìèì ñåáå
{x : x ∈
(à íå êëàññ êëàññîâ).
    Èíòóèòèâíî ñîáñòâåííûå êëàññû (ò.å. íå ÿâëÿþùèåñÿ ìíîæåñòâàìè) 
ýòî î÷åíü áîëüøèå ñîâîêóïíîñòè òèïà êëàññà âñåõ ìíîæåñòâ èëè, êàê â ïà-
ðàäîêñå Ðàññåëà, êëàññà âñåõ ìíîæåñòâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ ñâîèì ýëåìåíòîì.
Ïðè ýòîì ïàðàäîêñ ïðåâðàùàåòñÿ â äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ñîîòâåòñòâó-
þùèé êëàññ íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì.
    Çàäà÷à Äîêàçàòü, ÷òî êëàññ M = {x : x − ìíîæåñòâî} (êëàññ âñåõ
ìíîæåñòâ) íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì.

Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Íàä ìíîæåñòâàìè (âïðî÷åì, è íàä êëàññàìè) ìîæíî ïðîèçâîäèòü ñëåäóþ-
ùèå îïåðàöèè:
                         def
   1) Îáúåäèíåíèå A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} (A ∪ B ñîñòîèò â òî÷íîñòè
èç òàêèõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå èìåþòñÿ èëè â A èëè â B )
                             def
   2) Ïåðåñå÷åíèå A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} (A ∩ B ñîñòîèò òîëüêî èç
òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå èìåþòñÿ è â A è â B îäíîâðåìåííî)
                       def
   3) Ðàçíîñòü A − B = {x : x ∈ A ∧ x ∈     / B} (A − B ñîñòîèò òîëüêî èç
òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå åñòü â A, íî íåò â B . Äðóãîå îáîçíà÷åíèå ðàçíîñòè
ìíîæåñòâ  A \ B )
                                          def
   4) Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü A −· B = {x : (x ∈ A ∧ x ∈      / B) ∨ (x ∈
B∧x ∈ / A)} (A −· B ñîñòîèò èç òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå åñòü â A, íî íåò â B
èëè åñòü â B , íî íåò â A, ò.å. èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

                       A −· B = (A − B) ∪ (B − A).

(Äðóãîå îáîçíà÷åíèå äëÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè  A M B èëè A −
                                                              4
                                                                B)
                     def
   5) Äîïîëíåíèå Ac = {x : x ∈/ A} (äðóãèå îáîçíà÷åíèÿ: A èëè {A). Ýòî
îïðåäåëåíèå îáû÷íî óïîòðåáëÿåòñÿ, êîãäà ôèêñèðîâàíî íåêîòîðîå  óíèâåð-
ñàëüíîå  ìíîæåñòâî (íàïðèìåð) U, ïîäìíîæåñòâîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ A (è
âñå äðóãèå èçó÷àåìûå â òîò ìîìåíò ìíîæåñòâà). È íà ñàìîì äåëå ïîäðàçó-
ìåâàåòñÿ, ÷òî Ac ñîñòîèò òîëüêî èç ýëåìåíòîâ U, íå ïðèíàäëåæàùèõ A,

Страницы