Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

P (x)
x
{x : P (x)}
x P (x)
{x : x
2
+ 5x − 3 = 0}
∅ = {x : x 6= x}
∅ = {x : x 6= x} = {x : x − x
2
+ 1 = 0}
A = {x : x /∈ x}
A ∈ A A /∈ A
A ∈ A
A (x /∈ x)
A A /∈ A
A /∈ A
(x /∈ x)
A A ∈ A
{x : P (x)} x
22                                                          Êëåâ÷èõèí Þ.À


     Ïðèíöèï âûäåëåíèÿ. Åñëè P (x) íåêîòîðîå ñâîéñòâî êîòîðûì
     ìîæåò îáëàäàòü (èëè íå îáëàäàòü) ýëåìåíò (ïðåäìåò) x, òî ñóùå-
     ñòâóåò ìíîæåñòâî {x : P (x)}, ñîñòîÿùåå â òî÷íîñòè èç âñåõ
     òåõ x (è òîëüêî òåõ), äëÿ êîòîðûõ ñâîéñòâî P (x) âûïîëíÿåòñÿ.

   Íàïðèìåð, {x : x2 + 5x − 3 = 0}  ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç äâóõ ýëå-
ìåíòîâ  êîðíåé ýòîãî êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà;
   ∅ = {x : x 6= x}  ïóñòîå ìíîæåñòâî, ò.å. ìíîæåñòâî íå ñîäåðæàùåå íè
îäíîãî ýëåìåíòà (òàê êàê íåò ýëåìåíòîâ íå ðàâíûõ ñàìèì ñåáå); ê ïðèìåðó,
èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

      ∅ = {x : x 6= x} = {x : x − äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî è x2 + 1 = 0}

   Òàêîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íîâûõ ìíîæåñòâ âûçâàë íàèáîëüøèå âîçðàæå-
íèÿ ó ìàòåìàòè÷åñêîé îáùåñòâåííîñòè èç-çà òîãî, ÷òî åãî íåîãðàíè÷åííîå
ïðèìåíåíèå ïðèâîäèò ê ïàðàäîêñàì. Íàïðèìåð, õîðîøî èçâåñòåí ïàðàäîêñ
Ðàññåëà.
   Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî A = {x : x ∈   / x} (ýòî âñå òå è òîëüêî òå ìíî-
æåñòâà, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ñâîèì ýëåìåíòîì). È ïîñìîòðèì, êàêîå èç
îòíîøåíèé âåðíî A ∈ A èëè A ∈   / A (ñîãëàñíî çàêîíó [ëîãèêè] èñêëþ÷åí-
íîãî òðåòüåãî, òðåòüåãî íå äàíî! Äðóãèå âîçìîæíîñòè èñêëþ÷åíû!).

        Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî A ∈ A, òî îíî íå îáëàäàåò îïðåäå-
     ëÿþùèì äëÿ A ñâîéñòâîì (x ∈ / x) è ïîýòîìó íå äîëæíî ïðèíàä-
     ëåæàòü A, ò.å. A ∈
                      / A?!
        Åñëè æå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî A ∈   / A, òî òîãäà îíî îáëàäàåò
     îïðåäåëÿþùèì ñâîéñòâîì (x ∈ / x) è ïîýòîìó äîëæíî ïðèíàäëå-
     æàòü ìíîæåñòâó A, ò.å. A ∈ A?!

   Àíàëèç ýòîãî è äðóãèõ (ïîäîáíûõ è íåò) ïàðàäîêñîâ ïðèâåë ê ïåðåñìîò-
ðó âñåõ îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè. Ìû íå õîòèì îòâëåêàòüñÿ íà îïèñàíèè è
ïåðå÷èñëåíèè âñåõ ñëåäñòâèé ýòîãî ïðîöåññà1 , óêàæåì òîëüêî, ÷òî áûëî âû-
ÿñíåíî íàëè÷èå äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ âûõîäîâ äëÿ èçáàâëåíèÿ îò ïîäîáíûõ
ïðîòèâîðå÷èé.
   Îäèí èç òàêèõ âûõîäîâ (â àêñèîìàòèêå NGB) ïðåäëàãàåò ðàçëè÷àòü
ìíîæåñòâà è êëàññû, à ïðèíöèï âûäåëåíèÿ äîïóñêàòü òîëüêî äëÿ ìíî-
æåñòâ 2 . Òàêèì îáðàçîì, {x : P (x)} ÷èòàåòñÿ êàê êëàññ ìíîæåñòâ x
   1 èíòåðåñóþùèõñÿ ïîïóëÿðíûì èçëîæåíèåì ýòîé èñòîðèè ìû îòñûëàåì ê êíèãå
Ì. Êëàéíà Ìàòåìàòèêà. Óòðàòà îïðåäåëåííîñòè. Ì.: Ìèð, 1984
   2 â àêñèîìàòèêå NGB êðîìå êëàññîâ è îòíîøåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè áîëüøå íè÷åãî
íåò. Ìíîæåñòâà, ÷èñëà, ôóíêöèè è ò.ï. ÿâëÿþòñÿ íåêîòîðûìè ñïåöèàëüíûìè êëàññàìè

Страницы