Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

P (2
k+1
)
P (2
k
)
2
n+1
√
a
1
· a
2
···a
2
n
· a
2
n
+1
···a
2
n+1
| {z }
2
n
| {z }
2
n
=
q
2
n
√
a
1
· a
2
···a
2
n
·
2
n
√
a
2
n
+1
···a
2
n+1
6
6
2
n
√
a
1
· a
2
···a
2
n
+
2
n
√
a
2
n
+1
···a
2
n+1
2
6
a
1
+···+a
2
n
2
n
+
a
2
n
+1
+···+a
2
n+1
2
n
2
=
=
a
1
+ . . . a
2
n+1
2
n+1
.
n > 3 P (n) ⇒ P (n − 1)
S =
a
1
+···+a
n−1
n−1
a
1
+ ··· + a
n−1
= (n − 1)S
n
p
a
1
···a
n−1
· S
P (n)
6
a
1
+ ··· + a
n−1
+ S
n
=
(n − 1)S + S
n
= S.
P (n − 1)
a
1
···a
n−1
· S 6 S
n
⇒ a
1
···a
n−1
6 S
n−1
⇔
n−1
√
a
1
···a
n−1
6 S.
N Z
Q R
∈
20                                                                            Êëåâ÷èõèí Þ.À


    Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà P (2k+1 ) ïðè óñëîâèè, ÷òî íåðàâåíñòâî
P (2k ) âåðíî.
                                                    q √
    2n+1
        √                                            2n
                                                                             √
                                                                             n
         |a 1 · a2 · · · a2n · a2n +1 · · · a2n+1 =
                 {z        } |         {z       }       a1 · a2 · · · a2n · 2 a2n +1 · · · a2n+1 6
         2n   ñîìíîæèòåëåé 2n ñîìíîæèòåëåé
          √
         2n
                                    √                       a1 +···+a2n  a n  +···+a
               a1 · a2 · · · a2n + 2n a2n +1 · · · a2n+1         2n
                                                                        + 2 +1 2n 2n+1
     6                                                   6                             =
                                  2                                       2
                                             a1 + . . . a2n+1
                                          =                   .
                                                    2n+1
   Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî äëÿ ëþáîãî n > 3 èìååì P (n) ⇒ P (n − 1). Äëÿ ýòîãî
             a +···+a
îáîçíà÷èì S = 1 n−1 n−1 . Òîãäà a1 + · · · + an−1 = (n − 1)S è
                                   ò.ê.
                                  P (n)
               p
               n
                                  âåðíî   a1 + · · · + an−1 + S   (n − 1)S + S
                   a1 · · · an−1 · S 6                          =              = S.
                                                      n                 n
Òåïåðü âåðíîñòü P (n − 1) ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ:
                                                                   √
              a1 · · · an−1 · S 6 S n ⇒ a1 · · · an−1 6 S n−1 ⇔   n−1
                                                                        a1 · · · an−1 6 S.

×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.


Ëåêöèÿ 3.
Íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ  ýòî áîëüøîé è ñàìîñòîÿòåëüíûé ðàçäåë ìàòåìàòèêè,
ñêîëüêî-íèáóäü ïîëíîå èçëîæåíèå õîòÿ áû îñíîâ êîòîðîãî ïîòðåáîâàëî áû
íå ìåíåå ñåìåñòðîâîãî êóðñà. Ïîýòîìó ìû îñòàíîâèìñÿ òîëüêî íà ñàìûõ
íåîáõîäèìûõ äëÿ àíàëèçà ïîíÿòèÿõ è îáîçíà÷åíèÿõ. Áîëåå ïîëíîå åå èç-
ëîæåíèå äîëæíî áûòü ïðîâåäåíî â äðóãèõ äèñöèïëèíàõ (íàïðèìåð, â äèñ-
êðåòíîé ìàòåìàòèêå). Îòìåòèì åùå, ÷òî íè ñêîëüêî íå áîÿñü ïîïàñòü â
ïîðî÷íûé êðóã, âñþäó â äàëüíåéøåì ìû áåç ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê â êà-
÷åñòâå ìàòåðèàëà äëÿ ïðèìåðîâ áóäåì èñïîëüçîâàòü òàêèå õîðîøî çíàêî-
ìûå ñî øêîëû ìíîæåñòâà (è èõ ÷àñòè), êàê N  âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, Z
 âñå öåëûå ÷èñëà, Q  âñå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, R  âñå äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà.
   Ïåðâè÷íûìè (è îñíîâíûìè) ïîíÿòèÿìè òåîðèè ìíîæåñòâ ïðèíÿòî ñ÷è-
òàòü ìíîæåñòâî è îòíîøåíèå ïðèíàäëåæíîñòè ∈. Ýòè ïîíÿòèÿ íå îïðå-
äåëÿþòñÿ ÷åðåç äðóãèå (áîëåå ïðîñòûå), à ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóþòñÿ ñâî-
èìè ñâîéñòâàìè, âûðàæàåìûìè â àêñèîìàõ òåîðèè ìíîæåñòâ. Íàèáîëåå

Страницы