Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n
P
k=1
sin nx
n
X
k=1
sin nx =
n
P
k=1
sin nx sin
x
2
sin
x
2
=
n
P
k=1
[cos
n −
1
2
x − cos
n +
1
2
x
2 sin
x
2
= ∗
a
n
= cos(n −
1
2
)x a
n+1
= cos
n +
1
2
x
∗ =
cos
1
2
x − cos
n +
1
2
x
2 sin
x
2
=
sin
n
2
x sin
n+1
2
x
sin
x
2
.
n
P
k=1
cos nx
n
P
k=1
k
2
k
a
k
=
k
2
k
a
k
− a
k+1
a
k
− a
k+1
=
k
2
k
−
k + 1
2
k+1
=
k −1
2
k+1
=
1
2
k
2
k
−
1
2
k
.
k n
n
X
k=1
(a
k
− a
k+1
) =
n
X
k=1
1
2
k
2
k
−
1
2
k
=
1
2
n
X
k=1
k
2
k
−
1
2
n
X
k=1
1
2
k
?
n
X
k=1
(a
k
− a
k+1
) = a
1
− a
n+1
=
1
2
−
n + 1
2
n+1
.
(?)
n
X
k=1
1
2
k
=
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+ ··· +
1
2
n
= 1 −
1
2
n
(?)
n
X
k=1
k
2
k
= 2
1
2
−
n + 1
2
n+1
+
1
2
−
1
2
n+1
= 2 −
n + 2
2
n
18                                                                                   Êëåâ÷èõèí Þ.À


ëåãêî ïðåîáðàçóåòñÿ â ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóê-
öèè, êàê ýòî ïðîäåëàíî âûøå.
   Ïðèìåíèì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî äëÿ âûâîäà íåêîòîðûõ ïîëåçíûõ ôîðìóë.
                       Pn
   1. Âû÷èñëèì ñóììó      sin nx.
                                k=1
                          P
                          n
                                             x
                                                     P
                                                     n
                                                                    1
                                                                                      
         n
         X                      sin nx sin   2
                                                         [cos n −   2
                                                                         x − cos n + 12 x
                          k=1                        k=1
               sin nx =                x         =                           x                   =∗
                                 sin   2
                                                                    2 sin    2
         k=1
                                                                                               
Îáîçíà÷àÿ an = cos(n − 21 )x, âèäèì, ÷òî òîãäà an+1 = cos n +                              1
                                                                                           2
                                                                                                x, ïîýòîìó ê
÷èñëèòåëþ ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëó (!!!):
                                          
                     cos 21 x − cos n + 12 x   sin n2 x sin n+1
                                                             2
                                                                x
                ∗=                  x        =                    .
                              2 sin 2                 sin x2
(Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëîé ðàçíîñòè
êîñèíóñîâ).
                                                       Pn
   2. Çàäà÷à. Âû÷èñëèòü (àíàëîãè÷íîé âûêëàäêîé) ñóììó     cos nx.
                                                                                   k=1
     Çàìå÷àíèå. Ïîñëåäíèå äâå ñóììû ïðèìåíÿþòñÿ â òåîðèè ðÿäîâ Ôóðüå, êî-
òîðóþ Âû áóäåòå èçó÷àòü íà âòîðîì êóðñå, ïîýòîìó çíàòü, êàê îíè âû÷èñëÿþòñÿ
î÷åíü ïîëåçíî.
                      Pn
   3. Âû÷èñëèì ñóììó       k
                          2k
                             . Äëÿ ýòîãî îáîçíà÷èì ÷åðåç ak = 2kk è ïîñ÷èòàåì
                                k=1
ðàçíîñòü ak − ak+1 :
                                                                                    
                                       k   k+1   k−1    1                    k    1
                   ak − ak+1 =            − k+1 = k+1 =                         −      .
                                       2k  2      2     2                    2k   2k
Ïðîñóììèðóåì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà ïî k îò 1 äî n:
          Xn                Xn                 n          n
                                1 k    1      1X k       1X 1
             (ak − ak+1 ) =          −      =          −                                                 (?)
                                2 2k   2k     2     2k   2     2k
          k=1               k=1                 k=1        k=1

Ñóììà â ëåâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (!!!):
                          n
                          X                                         1  n+1
                              (ak − ak+1 ) = a1 − an+1 =              − n+1 .
                                                                    2  2
                          k=1

     Ïîñëåäíÿÿ ñóììà â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (?) òîæå ëåãêî ñ÷èòàåòñÿ:
                       n
                       X 1   1  1   1         1       1
                            = + 2 + 3 + ··· + n = 1 − n
                         2k  2 2   2         2       2
                       k=1

(ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëîé ñóììû ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè).
   Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå ñóììû â ðàâåíñòâî (?), íàõîäèì èñêîìóþ ñóììó:
               Xn                              
                   k        1   n+1    1     1        n+2
                      = 2     −      +   −        =2−
                   2k       2   2n+1   2   2n+1        2n
               k=1

Страницы