Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(1 + x)
n
=
n
X
k=0
C
k
n
x
k
=
= x
n
+ nx
n−1
+
n(n − 1)
2!
x
n−2
+
n(n − 1)(n − 2)
3!
x
n−3
+ ···
x = 1 x = −1
n
X
k=0
C
k
n
= 2
n
,
n
X
k=0
(−1)
k
C
k
n
= 0
. (1 + x)
5
. (a + b)
6
. (x + y)
7
. (a − b)
8
x
3
µ
√
x +
1
√
x
16
a.
n
X
k=1
kC
k
n
= n2
n−1
b.
n
X
k=1
(−1)
k−1
kC
k
n
= 0
c.
m
X
k=0
C
n
n+k
= C
n+1
n+m+1
d.
n
X
k=1
(−1)
k+1
C
k
n
k + 1
=
n
n + 1
n
P
k=1
(k + 1)C
k
n
n
P
k=0
(C
k
n
)
2
n
P
k=1
(k −1)C
k
n
n
P
k=0
C
k
n
k+1
n
P
k=1
C
2k
2n
n
P
k=0
2
k+1
C
k
n
k+1
n
P
k=1
C
2k−1
2n
s
P
k=0
C
k
n
C
s−k
m
n
P
k=0
(−1)
k
(C
k
n
)
2
16                                                                              Êëåâ÷èõèí Þ.À


×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
  ×àñòíûå ñëó÷àè áèíîìà ÿâëÿþòñÿ ïîëåçíûìè ôîðìóëàìè:
                                                        n
                                                        X
                                     (1 + x)n =               Cnk xk =
                                                        k=0
                           n(n − 1) n−2 n(n − 1)(n − 2) n−3
            = xn + nxn−1 +         x   +               x    + ···
                              2!              3!
Îòñþäà ïðè x = 1 è x = −1, íàõîäèì
                               n
                               X                        n
                                                        X
                                     Cnk = 2n ,               (−1)k Cnk = 0
                               k=0                      k=0

     Óïðàæíåíèÿ

     1. Âûïèñàòü âñå ñëàãàåìûå ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà

                                a.        (1 + x)5          b. (a + b)6

                                c. (x + y)7                 d. (a − b)8
     2. Íàéòè êîýôôèöèåíò ïðè x3 â ðàçëîæåíèè âûðàæåíèÿ
                             µ          ¶16
                              √      1
                                x+ √
                                      x
ïî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà.
   3. Äîêàçàòü ðàâåíñòâà
                      n
                      X                                       n
                                                              X
                 a.         kCnk = n2n−1              b.          (−1)k−1 kCnk = 0
                      k=1                                     k=1
                      Xm                                      Xn
                             n      n+1                             (−1)k+1 Cnk    n
                 c.         Cn+k = Cn+m+1             d.                        =
                                                                      k+1         n+1
                      k=0                                     k=1

   Âû÷èñëèòü ñóììû.
   Pn                                       P
                                            n                                  P
                                                                               n
a.    (k + 1)Cnk                     b.           (Cnk )2                 c.         (k − 1)Cnk
     k=1                                    k=0                                k=1
     Pn
           Cnk                              Pn
                                                   2k
                                                                               Pn
                                                                                     2k+1 Cn
                                                                                           k
d.         k+1                       e.           C2n                     f.           k+1
     k=0                                    k=1                                k=0
     Pn
            2k−1                            Ps                                 Pn
g.         C2n                       h.           Cnk Cm
                                                       s−k
                                                                          i.         (−1)k (Cnk )2
     k=1                                    k=0                                k=0

Страницы