Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

m+n
X
n=m
a
k
def
= a
m
+ a
m+1
+ ··· + a
m+n
n
Y
k=1
a
k
= a
1
· a
2
···a
n
C
0
n
def
= 1 C
k
n
def
=
k−
z }| {
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
k!
=
n!
k!(n − k)!
C
k
n
n
C
k
n
¡
n
k
¢
C
k
n
= C
n−k
n
; C
k
n
+ C
k−1
n
= C
k
n+1
.
n
(x + y)
n
=
n
X
k=0
C
k
n
x
n−k
y
k
=
= x
n
+ nx
n−1
y +
n(n − 1)
2!
x
n−1
y
2
+ ··· +
n(n − 1)
2!
x
2
y
n−2
+ nxy
n−1
+ y
n
.
14                                                               Êëåâ÷èõèí Þ.À


Çäåñü òîæå ïðîöåññ èíäóêöèè ÷àùå ïðÿ÷óò â ìíîãîòî÷èå
                     m+n
                     X         def
                           ak = am + am+1 + · · · + am+n
                     n=m

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñèìâîë
                               n
                               Y
                                     ak = a1 · a2 · · · an
                               k=1

Îòìåòèì, ÷òî èíäóêòèâíîå îïðåäåëåíèå ëåãêî ïîÿñíèòü ìàøèíå, ò.å. çà-
ïðîãðàììèðîâàòü, â ïðîòèâîïîëîæíîñòü èíòóèòèâíî áîëåå ïîíÿòíîé ÷åëî-
âåêó çàïèñè ñ ìíîãîòî÷èåì.

Áèíîì Íüþòîíà
        
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ìû õî-
òèì äîêàçàòü ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà.
                                     Äëÿ ýòîãî ïîëîæèì
                                         k−ñîìíîæèòåëåé
                                   z           }|           {
            def                def n(n − 1) . . . (n − k + 1)       n!
         Cn0 = 1     è   Cnk   =                              =
                                               k!               k!(n − k)!

(ïåðâóþ ôîðìóëó îïðåäåëåíèÿ Cnk ïðèìåíÿòü íà ïðàêòèêå ïðåäïî÷òèòåëü-
íåå, òàê êàê îíà òðåáóåò ìåíüøå âû÷èñëåíèé, êðîìå òîãî, îíà äîïóñêàåò
îáîáùåíèå íà íåöåëûå n, ÷òî îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ïîëåçíûì).
   ×èñëà Cnk íàçûâàþò áèíîìèàëüíûìè
                                 ¡ ¢    êîýôôèöèåíòàìè. Â èíîñòðàííîé
ëèòåðàòóðå èõ ÷àñòî îáîçíà÷àþò nk .
   Áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû îáëàäàþò ðÿäîì çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ,
èç êîòîðûõ íàì â äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùåé íèæå òåîðåìû ïîíàäîáÿòñÿ
äâà:
                   Cnk = Cnn−k ;   Cnk + Cnk−1 = Cn+1
                                                  k
                                                      .
Ýòè ñâîéñòâà äîñòàòî÷íî î÷åâèäíû èç îïðåäåëåíèÿ è ïîëíîå èõ äîêàçà-
òåëüñòâî îñòàåòñÿ â êà÷åñòâå ëåãêîãî óïðàæíåíèÿ.
   Òåîðåìà. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà :
                                          n
                                          X
                           (x + y)n =           Cnk xn−k y k =
                                          k=0

     n     n−1      n(n − 1) n−1 2        n(n − 1) 2 n−2
 = x + nx        y+         x   y + ··· +         x y    + nxy n−1 + y n .
                       2!                    2!

Страницы