Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

A ⇒ B
(¬B) ⇒ (¬A)
e
√
2
p
q
¡
p
q
¢
2
= 2
A
z }| {
p q p q
B
z }| {
¡
p
q
¢
2
6= 2
e
¡
p
q
¢
2
= 2 ¬B
¬A p q
p q
p
2
= 2q
2
p
p = 2m (2m)
2
= 2q
2
⇒ q
2
= 2m
2
q
p q ¬A
A ⇒ B
e p
1
p
2
p
n
p
1
p
2
···p
n
+1 p
1
p
2
p
n
p
1
p
2
···p
n
+ 1 p
k
6= 1
p
1
p
2
···p
n
+1 = rp
k
p
1
p
2
···p
n
p
k
p
k
1 = rp
k
− p
1
p
2
···p
n
12                                                                Êëåâ÷èõèí Þ.À


    ×àñòî èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî (áîëåå òî÷-
íî  ñâåäåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ (íåëåïîñòè, àáñóðäó), ïî ëàòûíè  reductio
ad absurdum): åñëè ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû èìååò âèä A ⇒ B òî ñëîâà:
ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå îçíà÷àþò, ÷òî íà ñàìîì äåëå ìû áóäåì äîêàçû-
âàòü ýêâèâàëåíòíîå óòâåðæäåíèå (¬B) ⇒ (¬A) (ñì. ëîãè÷åñêîå òîæäåñòâî
(6)). Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ñëîâà ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå ÷àñòî çàìå-
íÿþò çíà÷êîì     e (â êîíñïåêòàõ, íî íå êíèãàõ è ñòàòüÿõ). Îáíàðóæåíèå
ïðîòèâîðå÷èÿ ìû ôèêñèðóåì çíàêîì ?! (õîòÿ íå âîçðàæàåì ïðîòèâ èí-
òåðïðåòàöèè ýòîãî çíàêà, êàê ñíà÷àëà óäèâëåíèÿ, à ïîòîì âîñõèùåíèÿ).
                                    √
    Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì òåîðåìó:  2  èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Ýòî ñî-
êðàùåííàÿ çàïèñü ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ:
                                                      ¡ ¢2
    Íå ñóùåñòâóåò òàêîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà pq , ÷òî pq = 2=
                                                                             B
                                 A                             z }| {
           z                     }|                      {     ¡ ¢2
     Åñëè pöåëîå è q íàòóðàëüíîå è p âçàèìíî ïðîñòî ñ q , òî pq 6= 2
   Ðàçáåðåì ïîäðîáíî äîêàçàòåëüñòâî.
                                     ¡ ¢2
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. e
                                Ïóñòü pq = 2 (ò.å. ïóñòü âåðíî ¬B ). Íàäî
äîêàçàòü, ÷òî òîãäà âåðíî ¬A =  píå öåëîå, èëè q íå íàòóðàëüíîå, èëè
p è q íå âçàèìíî ïðîñòû.
   Ïðè íàøåì ïðåäïîëîæåíèè p2 = 2q 2 è, çíà÷èò, p  ÷åòíîå ÷èñëî, ò.å.
èìååò âèä p = 2m. Íî òîãäà (2m)2 = 2q 2 ⇒ q 2 = 2m2 , ò.å. q òîæå ÷åòíîå?!
Ò.å. p è q íå âçàèìíî ïðîñòû. È óòâåðæäåíèå ¬A âåðíî, òàê êàê ÿâëÿåòñÿ
äèçúþíêöèåé òðåõ âûñêàçûâàíèé, ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç êîòîðûõ, êàê
ìû äîêàçàëè, âåðíî.
   Ïðèâåäåì åùå îäèí ïðèìåð ñ ñîêðàùåííîé ôîðìóëèðîâêîé è äîêàçà-
òåëüñòâîì îò ïðîòèâíîãî òîæå â ñîêðàùåííîé ôîðìå.  êà÷åñòâå óïðàæ-
íåíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿ âîññòàíîâèòü â äåòàëÿõ è ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû (ò.å.
ïðåäñòàâèòü â âèäå A ⇒ B ) è åå äîêàçàòåëüñòâî.
     Òåîðåìà.   Ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî ìíîãî.
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. e     Ïóñòü p1 , p2 ,. . . , pn  âñå ïðîñòûå ÷èñëà.
Ðàññìîòðèì ÷èñëî p1 p2 · · · pn + 1. Åãî íåò ñðåäè ÷èñåë p1 , p2 ,. . . , pn , òàê êàê
îíî áîëüøå ëþáîãî èç íèõ. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî íàøèì ïðåäïîëîæåíèÿì, îíî
íå ìîæåò áûòü ïðîñòûì, çíà÷èò, p1 p2 · · · pn + 1 äåëèòñÿ íà êàêîå-òî pk 6= 1
ò.å. p1 p2 · · · pn +1 = rpk è, î÷åâèäíî, p1 p2 · · · pn òîæå äåëèòñÿ íà pk . Íî òîãäà
íà pk äîëæíà äåëèòüñÿ è 1 = rpk − p1 p2 · · · pn ?! Ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò
òåîðåìó.

Страницы