Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∀n P (n)
(∀n)
¡
n ∈ N ⇒ P (n)
¢
n = 1
n n + 1
P (1) ∧
³
∀n
¡
P (n) ⇒ P (n + 1)
¢
´
⇒ (∀n)P (n)
n = 1 P (1) P (1)
P (1) P(2) P (1) ⇒ P (2)
P (2) P (2)
P (2) P(3) P (2) ⇒ P (3)
P (3) P (3)
P (n) n ∀n P (n)
0!
def
= 1 n!
def
= n · (n − 1)!
n! = n · (n − 1) ···3 · 2 · 1
m
X
k=m
a
k
= a
m
,
m+n
X
k=m
a
k
=
Ã
m+n−1
X
k=m
a
k
!
+ a
n+m
Ëåêöèÿ 2                                                                  13


Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè
Åùå îäíî ïðàâèëî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì  ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èí-
äóêöèè. Ýòî ïðàâèëî çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íàì íàäî äîêàçàòü
ïðåäëîæåíèå¡ ∀n P (n) (íࢠñàìîì äåëå ýòî ñîêðàùåííàÿ çàïèñü ïðåäëîæå-
íèÿ:  (∀n) n ∈ N ⇒ P (n) ).
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñíà÷àëà âåðíîñòü óòâåðæäåíèÿ ïðîâåðÿåòñÿ ïðè
n = 1; ïîòîì äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè îíî âåðíî äëÿ êàêîãî-òî ïðîèçâîëü-
íîãî n, òî îíî âåðíî è äëÿ n + 1 è îòñþäà äåëàåòñÿ çàêëþ÷åíèå î åãî ñïðà-
âåäëèâîñòè äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.  êðàòêîé ëîãè÷åñêîé ôîðìå ýòî
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
                       ³ ¡                  ¢´
                P (1) ∧ ∀n P (n) ⇒ P (n + 1) ⇒ (∀n)P (n)

    êà÷åñòâå èíòóèòèâíîãî îáîñíîâàíèÿ ýòîãî ìåòîäà ïîëåçíî ðàñïîëî-
æèòü ñèëëîãèçìû îäèí çà äðóãèì:
    Óòâåðæäåíèå âåðíî ïðè n = 1, ò.å. P (1).            P (1)
    Íî èç P (1) ñëåäóåò P (2).                      P (1) ⇒ P (2)
    Ñëåäîâàòåëüíî, âåðíî P (2).                         P (2)
    Îïÿòü, èç P (2) ñëåäóåò P (3).                  P (2) ⇒ P (3)
    Ñëåäîâàòåëüíî, âåðíî P (3) è òàê äàëåå. . .         P (3). . .
    Çíà÷èò, P (n) âåðíî ïðè ëþáîì n.                   ∀n P (n)
Òî åñòü ïðàâèëî íåïîñðåäñòâåííîãî âûâîäà ïðèìåíÿåòñÿ çäåñü áåñêîíå÷íîå
÷èñëî ðàç ( è òàê äàëåå. . . ), ïîýòîìó íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ èíòóèòèâíî
î÷åâèäíóþ âåðíîñòü îêîí÷àòåëüíîãî âûâîäà, ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóê-
öèè íå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðàâèëà íåïîñðåäñòâåííîãî âûâîäà è, ôàêòè-
÷åñêè, â êàæäîé èç ñèñòåì îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè ïðèíèìàåòñÿ çà àêñèîìó
(÷àùå â áîëåå ñèëüíîé ôîðìå ïðèíöèïà òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè).
   Î÷åíü ÷àñòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ èíäóêöèÿ ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé è ñèìâîëîâ (òàêèå îïðåäåëåíèÿ íàçû-
âàþò ðåêóðåíòíûìè èëè èíäóêòèâíûìè ). Íàïðèìåð
                          def          def
                       0! = 1 è n! = n · (n − 1)!

Èíîãäà ïèøóò n! = n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1. Â ýòîé èíòóèòèâíî âïîëíå ÿñíîé
çàïèñè â âèäå ìíîãîòî÷èÿ ñïðÿòàí ïðîöåññ ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
   Åùå ïðèìåðû:
               m             m+n
                                             Ãm+n−1 !
              X               X                 X
                  ak = am ,          ak =            ak + an+m
               k=m              k=m          k=m

Страницы