Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

B A
B
B
A
A ⇒ B
B A B
A
A ⇒ B
B ⇒ A
A ⇒ B
a b c c
2
= a
2
+ b
2
a b c
A ⇔ B
A B A
B B
A
A ⇒ B
B ⇒ A
A
A ⇒ B
B
A ⇒ B
A A
1
A
2
A
n
B A ⇒ A
1
A
1
⇒ A
2
A
n
⇒ B
B A
Ëåêöèÿ 2                                                                 11


   ×òîáû äîêàçàòü, ÷òî òàêàÿ èìïëèêàöèÿ âåðíà, äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü,
÷òî åå çàêëþ÷åíèå (ò.å. B ) âåðíî, êîãäà âåðíà ïîñûëêà A (ñì. òàáëèöó èñ-
òèííîñòè). Îáû÷íî ýòî âûðàæàþò ñëîâàìè: Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òå-
îðåìû. Òîãäà . . .  è äîêàçûâàþò, ÷òî B âåðíî.
   Âûñêàçûâàíèå B â óñëîâèè òåîðåìû (êîãäà îíî âåðíî) ÷àñòî íàçûâà-
þò íåîáõîäèìûì óñëîâèåì òåîðåìû, à âûñêàçûâàíèå A  äîñòàòî÷íûì
è òåîðåìû A ⇒ B ôîðìóëèðóþò åùå â âèäå: Äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ
B äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ A=âûïîëíåíèå B íåîáõîäèìî ïðè âû-
ïîëíåíèè óñëîâèÿ A.
   Êîãäà èìååòñÿ óòâåðæäåíèå (=âûñêàçûâàíèå) A ⇒ B (âåðíîå èëè íåò),
òî óòâåðæäåíèå B ⇒ A íàçûâàþò îáðàòíûì ê íåìó. Åñëè îíî âåðíî, òî
ãîâîðÿò, ÷òî ñïðàâåäëèâà òåîðåìà îáðàòíàÿ ê óòâåðæäåíèþ A ⇒ B , êîòîðîå
â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò (åñëè îíî âåðíî) ïðÿìîé òåîðåìîé. Íàïðèìåð,
òåîðåìà îáðàòíàÿ ê òåîðåìå Ïèôàãîðà âûãëÿäèò òàê:

     Åñëè a, b, c  ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà è c2 = a2 + b2 , òî òðåóãîëü-
     íèê ïðÿìîóãîëüíûé è a, b  êàòåòû, à c  ãèïîòåíóçà.

Ýòà òåîðåìà òîæå âåðíà.
   Òåîðåìû âèäà A ⇔ B , êàê ñëåäóåò èç òîæäåñòâà (1), ýòî, ôàêòè÷åñêè,
êðàòêàÿ çàïèñü äâóõ òåîðåì: ïðÿìîé è îáðàòíîé. Èõ ÷àñòî íàçûâàþò êðè-
òåðèÿìè è ôîðìóëèðóþò â îäíîé èç ôîðì:
    A òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà B =Äëÿ âûïîëíåíèÿ A, íåîáõîäèìî è
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü B . Îïÿòü-òàêè çäåñü B  íåîáõîäèìîå
óñëîâèå, à A  äîñòàòî÷íîå. Ïðè ýòîì ñëîâà: äîêàæåì íåîáõîäèìîñòü
îçíà÷àþò, ÷òî ñîáèðàþòñÿ äîêàçûâàòü âåðíîñòü èìïëèêàöèè A ⇒ B , à äî-
êàæåì äîñòàòî÷íîñòü B ⇒ A.
   Îñíîâíîå ïðàâèëî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì  ïðàâèëî íåïîñðåäñòâåííîãî
âûâîäà (modus ponens):

                               A  âåðíî
                                   è
                             A ⇒ B  âåðíî

                                B  âåðíî

Âñå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû A ⇒ B îáû÷íî ðàçáèâàåòñÿ íà êîíå÷íîå ÷èñëî
øàãîâ: A, A1 , A2 ,. . . , An , B è äîêàçûâàþò âåðíîñòü èìïëèêàöèé A ⇒ A1 ,
A1 ⇒ A2 ,. . . An ⇒ B , îòêóäà, ñîãëàñíî ïðàâèëó íåïîñðåäñòâåííîãî âûâî-
äà äåëàåòñÿ çàêëþ÷åíèå î âåðíîñòè B ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ A, ÷òî è
òðåáóåòñÿ.

Страницы