Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

¬(∃x P (x)) x P (x)
x P (x) ∀x ¬P (x)
¬(∃x P (x)) = (∀x ¬P (x)).
∀ ∃
P (x, y) Q(x, y)
¬
³
∀x ∃y
¡
P (x, y) ⇒ Q(x, y)
¢
´
= ∃x ∀y
³
P (x, y) ∧
¡
¬Q(x, y)
¢
´
. (!!!)
A ∨ B = B ∨ A, A ∧ B = B ∧ A;
A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C, A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C;
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C), A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C);
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B, ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B;
¬(¬A) = A; A ∨ A = A, A ∧ A = A;
A ⇔ B = (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A);
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B);
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B);
A ⇒ B = (¬A) ∨ B;
¬(A ⇒ B) = A ∧ (¬B);
A ⇒ B = (¬B) ⇒ (¬A).
Ëåêöèÿ 1                                                                 9


   Àíàëîãè÷íî, ¬(∃x P (x)) îçíà÷àåò: íå ñóùåñòâóåò òàêîãî x, ÷òî P (x)
âåðíî= äëÿ ëþáîãî x P (x) ëîæíî= ∀x ¬P (x), ò.å.

                       ¬(∃x P (x)) = (∀x ¬P (x)).

   Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñòðîåíèè îòðèöàíèé âûñêàçûâàíèé êâàíòîðû âå-
äóò ñåáÿ êàê äâîéñòâåííûå îáúåêòû: ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà (∀ â ∃ è
íàîáîðîò)
   Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îòðèöàíèé áîëåå ñëîæíûõ âûñêàçûâàíèé íàäî õîðîøî
ïîìíèòü ëîãè÷åñêèå òîæäåñòâà (2), (3) è (5). Ñëåäóþùèé ïðèìåð íàèáîëåå
÷àñòî áóäåò íàìè èñïîëüçîâàòüñÿ (ñ ðàçëè÷íûìè êîíêðåòíûìè ïðåäèêàòà-
ìè P (x, y) è Q(x, y)), ïîýòîìó åãî íàäî çàïîìíèòü.
      ³        ¡                 ¢´         ³       ¡      ¢´
     ¬ ∀x ∃y P (x, y) ⇒ Q(x, y) = ∃x ∀y P (x, y) ∧ ¬Q(x, y) .      (!!!)


Âîïðîñû è çàäà÷è äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1. ×òî òàêîå âûñêàçûâàíèå?
    2. Êàêèå îïåðàöèè èìåþòñÿ äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ñëîæíûõ âûñêàçûâàíèé èç
ïðîñòûõ.
    3. Äîêàçàòü èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèé ðàâåíñòâà:

                   A ∨ B = B ∨ A,     A ∧ B = B ∧ A;
        A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C,    A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C;
  A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C),    A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C);
             ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B,      ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B;
               ¬(¬A) = A;      A ∨ A = A,     A ∧ A = A;
                      A ⇔ B = (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A);
                        ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B);
                        ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B);
                           A ⇒ B = (¬A) ∨ B;
                         ¬(A ⇒ B) = A ∧ (¬B);
                         A ⇒ B = (¬B) ⇒ (¬A).

   4. Ïîñòðîèòü îòðèöàíèå ñëåäóþùåãî âûñêàçûâàíèÿ: Âàñÿ è Ïåòÿ æèâóò
â îäíîé êîìíàòå â îáùåæèòèè è åñëè Âàñÿ õðàïèò, òî Ïåòÿ âî ñíå âèäèò
Áàáó ßãó. Ìîæíî ëè óçíàòü, ÷òî Ïåòÿ âèäèò âî ñíå, êîãäà Âàñÿ íå õðàïèò?
   5. ×òî òàêîå ïðåäèêàò?

Страницы