Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 8 стр.

8                                                             Êëåâ÷èõèí Þ.À


îçíà÷àåò: äëÿ ëþáîãî ìàëü÷èêà ñóùåñòâóåò äåâî÷êà, â êîòîðóþ îí âëþá-
ëåí. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî åñëè ïîìåíÿòü ìåñòàìè êâàíòîðû1
                                 ∃y ∀x P (x, y),
òî ïîëó÷èòñÿ ñîâåðøåííî èíîå ïî ñìûñëó (à, çíà÷èò, è ïî èñòèííîñòè) âû-
ñêàçûâàíèå: ñóùåñòâóåò äåâî÷êà, â êîòîðóþ âëþáëåí êàæäûé ìàëü÷èê.
Ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ êâàíòîðîâ âåñüìà ñóùåñòâåí! Î÷åíü íå ðåêîìåíäóåò-
ñÿ åãî ïóòàòü (îñîáåííî ïðè îòâåòå íà ýêçàìåíàõ).
   Èñòèííîñòü ïîñëåäíèõ äâóõ âûñêàçûâàíèé ìû çäåñü îñîáî îáñóæäàòü
íå áóäåì, ïîñêîëüêó ê ìàòåìàòèêå ýòî íå èìååò îòíîøåíèÿ. Õîòÿ ìîæíî
äîâîëüíî óâåðåííî ñêàçàòü, ÷òî â ïîëíîé îáùíîñòè îáà ýòè óòâåðæäåíèÿ
ñêîðåå âñåãî ëîæíû (êàæäûé ìàëü÷èê âëþáëåí?). Åñëè æå îãðàíè÷èòüñÿ
ìàëü÷èêàìè è äåâî÷êàìè, ñêàæåì, èç îäíîãî è òîãî æå êëàññà (íà÷èíàÿ ñ
9-ãî), òî ïåðâîå èç íèõ ìîæåò îêàçàòüñÿ âåðíûì, à ìîæåò (ãîðàçäî ðåæå)
âåðíûì áóäåò è âòîðîå. Îòìåòèì åùå, ÷òî åñëè âåðíî âòîðîå óòâåðæäåíèå,
òî âåðíî è ïåðâîå.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî âòîðîå óòâåðæäåíèå áîëåå
ñèëüíîå.
   3) Ïðèâåäåì åùå ïðèìåð, íî óæå èç ìàòåìàòèêè. Ïóñòü P (x, M ) =Åñëè
x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó E , òî x 6 M  (áîëåå êîðîòêî ýòî ìîæíî çàïè-
ñàòü òàê:  x ∈ E ⇒ x 6 M .
   Òîãäà ∃M ∀x P (x, M ) îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M , ÷òî âñÿ-
êîå ÷èñëî x èç E ìåíüøå ýòîãî M . Ýòî îïðåäåëåíèå îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó
ìíîæåñòâà  îäíîãî èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé, èñïîëüçóåìûõ â àíàëèçå. Ìíî-
æåñòâà E , äëÿ êîòîðûõ ýòî óòâåðæäåíèå èñòèííî, íàçûâàþò îãðàíè÷åííû-
ìè ñâåðõó, à ìíîæåñòâà E , äëÿ êîòîðûõ îíî ëîæíî íàçûâàþò íåîãðàíè-
÷åííûìè ñâåðõó.  äàëüíåéøåì ìû åùå âñòðåòèìñÿ ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì.
Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî åñëè çäåñü ïîìåíÿòü ìåñòàìè êâàíòîðû, òî ïîëó÷èòñÿ
òîæäåñòâåííî èñòèííîå âûñêàçûâàíèå, ò.å. âûïîëíÿþùååñÿ äëÿ âñåõ (÷è-
ñëîâûõ) ìíîæåñòâ E è ïîýòîìó íè÷åãî íå îïðåäåëÿþùåå:  ∀x ∃M P (x, y)=
äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x èç ìíîæåñòâà E ñóùåñòâóåò ÷èñëî M áîëüøåå ýòîãî
x (êîíå÷íî, íàïðèìåð, M = x + 1).
   Ñîâåðøåííî íåîáõîäèìûì ÿâëÿåòñÿ óìåíèå ñòðîèòü îòðèöàíèå âûñêà-
çûâàíèé, ñîäåðæàùèõ êâàíòîðû. Íàïðèìåð, ¬(∀x P (x)) îçíà÷àåò: íå äëÿ
ëþáîãî x P (x) âåðíî. Î÷åâèäíî, ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî ñóùåñòâóåò x äëÿ
êîòîðîãî P (x) ëîæíî èëè ñóùåñòâóåò x äëÿ êîòîðîãî ¬P (x) âåðíî. Òî
åñòü èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
                          ¬(∀x P (x)) = (∃x ¬P (x))
   1 Êâàíòîðû âñåãäà ñ÷èòàþòñÿ ñâÿçàííûìè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïåðåìåííûìè è ñëîâà
¾ïîìåíÿåì ìåñòàìè êâàíòîðû¿ îçíà÷àþò, ÷òî èõ ìåíÿþò ìåñòàìè âìåñòå ñ ïåðåìåííûìè,
êàê ýòî ñäåëàíî â äàííîì ïðèìåðå.