Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

A
B
P (X) = X
P (3) = P (1) =
P (X, Y ) = X ⇒ Y
A = 2 ×2 = 4 B = x
2
+ 1 = 0
P (A, B) = P (B, B) =
∀
∃
∀x P (x) x P (x)
x P (x)
∃x P (x) x P (x)
x P (x)
P (x) = x
∀x P (x)
∃x P (x)
P (x, y) = x y x y
x ∈ M ∧ y ∈ D ⇒ x y
∀x ∃y P (x, y),
Ëåêöèÿ 1                                                                7


Ïðîâåðêó ýòèõ ðàâåíñòâ ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ñîñòàâëåíèÿ òàáëèö
èñòèííîñòè ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòè. (Åñëè ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ èñòèííîñòè A è
B , âõîäÿùèõ â ñëîæíîå âûñêàçûâàíèå, ðåçóëüòàòû ñîâïàäàþò, òî ðàâåíñòâà
âåðíû.)


Ïðåäèêàòû
Ñëåäóþùèå ôàêòû îòíîñÿòñÿ ê ëîãèêå ïðåäèêàòîâ.
    Ïðåäèêàò  ýòî ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ (âîîáùå ãîâîðÿ, íåñêîëüêèõ ïåðå-
ìåííûõ), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðåäìåòîâ (îáúåêòîâ) ñî çíà-
÷åíèÿìè â ìíîæåñòâå âûñêàçûâàíèé. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âìåñòî ïåðåìåí-
íûõ, îáúåêòîâ óêàçàííîé îáëàñòè, ýòà ôóíêöèÿ äîëæíà ïðåâðàùàòüñÿ â
âûñêàçûâàíèå è ïðèíèìàòü îäíî èç äâóõ çíà÷åíèé: èñòèíà èëè ëîæü
(èëè 1 è 0 ñîîòâ., ÷òî òî æå ñàìîå).
    Íàïðèìåð, ïóñòü P (X) = ÷èñëî X áîëüøå äâóõ. Ýòî ïðåäèêàò íà ìíî-
æåñòâå ÷èñåë. Èìååì P (3) = èñòèíà, P (1) = ëîæü.
    Åùå ïðèìåð: ïóñòü P (X, Y ) =  X ⇒ Y . Ýòî ïðåäèêàò íà ìíîæåñòâå
âûñêàçûâàíèé. Åñëè A =  2 × 2 = 4, B =  x2 + 1 = 0 èìååò äåéñòâèòåëüíîå
ðåøåíèå, òî P (A, B) = ëîæü, à P (B, B) = èñòèíà (ò.ê. ïîñûëêà ëîæíà).
    Ñîîòíîøåíèå ìåæäó âûñêàçûâàíèÿìè è ïðåäèêàòàìè àíàëîãè÷íî ñîîò-
íîøåíèþ ìåæäó ÷èñëàìè è ôóíêöèÿìè:
    èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé  àíàëîã àðèôìåòèêè ÷èñåë;
    èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ  àíàëîã òåîðèè ôóíêöèé.
    ×òîáû ïðåâðàòèòü ïðåäèêàò â âûñêàçûâàíèå íå îáÿçàòåëüíî âìåñòî ïå-
ðåìåííîé ïîäñòàâëÿòü êîíêðåòíûé îáúåêò. Ìîæíî óáèòü ýòó ïåðåìåííóþ
îäíèì èç äâóõ êâàíòîðîâ :
    ∀  êâàíòîð âñåîáùíîñòè (èëè ïðîñòî îáùíîñòè);
    ∃  êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ.
    Âûðàæåíèå ∀x P (x) ÷èòàåòñÿ òàê: äëÿ ëþáîãî x P (x) (âåðíî) èëè äëÿ
êàæäîãî x (èìååò ìåñòî, âûïîëíÿåòñÿ, âåðíî, èñòèííî) P (x).
    Âûðàæåíèå ∃x P (x) ÷èòàåòñÿ òàê: ñóùåñòâóåò òàêîå x, ÷òî P (x) (âåð-
íî) èëè íàéäåòñÿ òàêîå x, ÷òî (èìååò ìåñòî, âûïîëíÿåòñÿ, âåðíî) P (x).
    Ïðèìåðû. 1) Ïóñòü P (x) =Öåëîå ÷èñëî x äåëèòñÿ áåç îñòàòêà íà 2.
Òîãäà ∀x P (x)  ëîæíîå âûñêàçûâàíèå (ëþáîå öåëîå ÷èñëî äåëèòñÿ áåç
îñòàòêà íà 2). À ∃x P (x)  èñòèííîå âûñêàçûâàíèå (ñóùåñòâóåò öåëîå ÷èñ-
ëî, êîòîðîå äåëèòñÿ áåç îñòàòêà íà 2).
    2) Ïóñòü P (x, y) = åñëè xìàëü÷èê è y äåâî÷êà òî x âëþáëåí â y 
(êðàòêî:  x ∈ M ∧ y ∈ D ⇒ x âëþáëåí â y ). Òîãäà:

                              ∀x ∃y P (x, y),

Страницы