Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
n
(1 + x)
n
(1 + x)
n
= (1 + x)
2n
C
k
n
k + 1
=
C
k+1
n+1
n + 1
n
X
k=1
(a
k
− a
k+1
) = a
1
− a
n+1
.
P (n)
n = 1
P
1
X
k=1
(a
k
− a
k+1
) = a
1
− a
2
.
P (n)
P (n + 1)
n+1
X
k=1
(a
k
− a
k+1
)
P
=
n
X
k=1
(a
k
− a
k+1
) + (a
n+1
− a
n+2
)
P (n)
=
= a
1
− a
n+1
+ (a
n+1
− a
n+2
) = a
1
− a
n+2
.
P (n + 1)
n
X
k=1
(a
k
− a
k+1
) =
= (a
1
− a
2
) + (a
2
− a
3
) + (a
3
− a
4
) + ··· + (a
n−1
− a
n
) + (a
n
− a
n+1
) =
= a
1
− a
n+1
.
Ëåêöèÿ 2                                                                                       17


   Óêàçàíèÿ.    Â ïóíêòå b ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè xn â òîæäåñòâå
(1 + x) (1 + x) = (1 + x)2n ðàñïèñàííîì ïî ôîðìóëå áèíîìà. Â ïóíêòå d.
         n         n

âîñïîëüçîâàòüñÿ ëåãêî ïðîâåðÿåìûì ðàâåíñòâîì

                                              Cnk  C k+1
                                                  = n+1
                                             k+1   n+1

Äîáàâëåíèå î ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
 êà÷åñòâå ñëåäóþùåãî ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè
äîêàæåì ñëåäóþùåå î÷åíü ïîëåçíîå ðàâåíñòâî:
                                   n
                                   X
                                        (ak − ak+1 ) = a1 − an+1 .                        (!!!)
                                   k=1

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç P (n) äîêàçûâàåìîå
                                                          P        ðàâåíñòâî.
Âèäèì, ÷òî ïðè n = 1 èìååì âåðíîå (ïî îïðåäåëåíèþ çíàêà ) ðàâåíñòâî
                                       1
                                       X
                                           (ak − ak+1 ) = a1 − a2 .
                                       k=1

Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî èç âåðíîñòè ðàâåíñòâà P (n) âûòåêàåò âåðíîñòü ðàâåíñòâà
P (n + 1).
    Èìååì,

                       ïî îïð.                                        ò.ê.
                        çíàêà
                          P                                           P (n)
  n+1
  X                              n
                                 X                                    âåðíî
        (ak − ak+1 )     =           (ak − ak+1 ) + (an+1 − an+2 ) =
  k=1                            k=1

                                                  = a1 − an+1 + (an+1 − an+2 ) = a1 − an+2 .

Ñðàâíèâàÿ íà÷àëî è êîíåö, âèäèì, ÷òî P (n + 1) âåðíî. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêà-
çàòü.
    Îòìåòèì, ÷òî èíòóèòèâíî óêàçàííîå ðàâåíñòâî äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî, åñëè
åãî ðàñïèñàòü ìåíåå ôîðìàëüíî:
  n
  X
      (ak − ak+1 ) =
  k=1

        = (a1 − a2 ) + (a2 − a3 ) + (a3 − a4 ) + · · · + (an−1 − an ) + (an − an+1 ) =
                                                                               = a1 − an+1 .

(âñå ñëàãàåìûå ñîêðàùàþòñÿ çà èñêëþ÷åíèåì ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî). Íî ýòà âû-
êëàäêà íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ñòðîãèì äîêàçàòåëüñòâîì íàøåãî ðàâåíñòâà, õîòÿ

Страницы