Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∀n ∈ N P (n)
n k k > n P (k)
∀k ∃n
n > k ∧ P (n)
k P (k) P (k −1)
∀k P (k) ⇒ P (k − 1).
∀n ∈ N P (n)
∀k a
k
> 0 ⇒
n
Y
k=1
a
k
1
n
6
n
P
k=1
a
k
n
a
k
> 0
n
√
a
1
· a
2
···a
n
6
a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
n
. ×
P (n) (×)
P (2
k
) k > 1
k = 1
√
a
1
· a
2
6
a
1
+a
2
2
(
√
a
1
−
√
a
2
)
2
> 0 ⇒ a
1
− 2
√
a
1
· a
2
+ a
2
> 0 ⇒
√
a
1
· a
2
6
a
1
+ a
2
2
.
Ëåêöèÿ 2                                                                    19


Ìåòîä îáðàòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè
Åù¼ îäèí ìåòîä, ñâÿçàííûé ñ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ÷àñòî ïðèìåíÿ-
åòñÿ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðûõ óòâåðæäåíèé. Ýòî, òàê íàçûâàåìûé, ìåòîä
îáðàòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íàäî
äîêàçàòü óòâåðæäåíèå ∀n ∈ N P (n). Äëÿ ýòîãî ïðîâåðÿåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü äâóõ
óòâåðæäåíèé:

        1. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n íàéä¼òñÿ òàêîå k, ÷òî k > n è P (k)
      âåðíî.
                                              
                           ∀k ∃n n > k ∧ P (n)

     (íå ïóòàòü ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ êâàíòîðîâ! Åñëè åãî ïîìåíÿòü, ïîëó-
     ÷èòñÿ òîæäåñòâåííî ëîæíîå âûñêàçûâàíèå.)
         2. Äëÿ ëþáîãî k èç âûïîëíåíèÿ P (k) ñëåäóåò âûïîëíåíèå P (k −1),
     ò.å. ñïðàâåäëèâà èìïëèêàöèÿ

                                ∀k P (k) ⇒ P (k − 1).


Åñëè ýòè äâà óòâåðæäåíèÿ âåðíû, òî âåðíî è äîêàçûâàåìîå ∀n ∈ N P (n).
   Ñòðîãîãî äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ìåòîäà ìû ïðèâîäèòü çäåñü íå áóäåì, à èíòó-
èòèâíàÿ âåðîñòü åãî î÷åâèäíà (ðàçóìååòñÿ, ïîñëå íåêîòîðîãî ðàçìûøëåíèÿ).
    êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà îáðàòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè
äîêàæåì íåðàâåíñòâî ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèì ãåîìåòðè÷å-
ñêèì :
                                                 P
                                                 n
                                   Yn     1       ak
                                            n
                                                k=1
                       ∀k ak > 0 ⇒      ak    6
                                                   n
                                    k=1

èëè, â ìåíåå ôîðìàëüíîé çàïèñè (ïðè ak > 0)

                      √                        a1 + a2 + · · · + an
                      n
                          a1 · a2 · · · an 6                        .       (×)
                                                       n

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç P (n) íåðàâåíñòâî (×). Äîêàæåì
ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè âåðíîñòü íåðàâåíñòâà P (2k ) ïðè ëþáîì k > 1.
                       √
   Ïðè k = 1 èìååì a1 · a2 6 a1 +a   2
                                       2
                                          âåðíîå íåðàâåíñòâî, äîêàçàòåëüñòâî
êîòîðîãî èçâåñòíî ñî øêîëû:

        √    √                   √                  √          a1 + a2
       ( a1 − a2 ) 2 > 0 ⇒ a1 − 2 a1 · a2 + a2 > 0 ⇒ a1 · a2 6         .
                                                                  2

Страницы