Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x ∈ A A 3 x x A
x A A
x
x A ¬(x ∈ A)
x /∈ A x ∈A A 63 x A 3x
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
A B x
A B
(∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B),
A B
A B A B
A ⊂ B ( A ⊆ B)
A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
A B
{a, b, c}
Ëåêöèÿ 3                                                             21


èçâåñòíûìè àêñèîìàòèçàöèÿìè òåîðèè ìíîæåñòâ (èç ýêâèâàëåíòíûõ ) ÿâ-
ëÿþòñÿ: NGB  Íåéìàíà-Ãåäåëÿ-Áåðíàéñà è ZF  Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ.
   Ìû íå áóäåì ïðèâîäèòü çäåñü ñïèñêîâ íè òîé íè äðóãîé ñèñòåì àêñè-
îì, à âîñïîëüçóåìñÿ, òàê íàçûâàåìûì, íàèâíûì ïîäõîäîì ê èçëîæåíèþ
îñíîâíûõ èç íåîáõîäèìûõ íàì ïîíÿòèé. Ïðàêòèêà ïîêàçûâàåò, ÷òî îñòî-
ðîæíîå èñïîëüçîâàíèå òàêîãî ïîäõîäà íå ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èÿì.


Ìíîæåñòâà
Èòàê, ìíîæåñòâî ìû äîëæíû ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê íåêîå ñîáðàíèå, ñî-
âîêóïíîñòü, êîëëåêöèþ, îáúåäèíåíèå â îäíî öåëîå ðàçëè÷èìûõ ýëåìåíòîâ
(ïðåäìåòîâ, îáúåêòîâ) ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû (íà ñàìîì äåëå èñêëþ÷è-
òåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîé, ò.å. ìíîæåñòâ, ÷èñåë, ôóíêöèé è ò.ï.). Îòíîøåíèå
x ∈ A (èëè A 3 x) ÷èòàåòñÿ òàê: (ýëåìåíò ) x ïðèíàäëåæèò (ìíîæåñòâó) A
èëè  x ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì (ìíîæåñòâà) A èëè (ìíîæåñòâî) A ñîäåðæèò
(ýëåìåíò ) x.
   Åñëè ýëåìåíò x íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A (ò.å. ¬(x ∈ A)), òî ïèøóò
x∈/ A èëè x ∈ A (èëè, ðåæå, A 63 x, A 3 x)
   Âñÿêîå ìíîæåñòâî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì ñâîèõ ýëåìåíòîâ:

                     A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)

(ìíîæåñòâà A è B ðàâíû, êîãäà âñÿêèé ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó
A òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðèíàäëåæèò B )
   Åñëè èìååò ìåñòî èìïëèêàöèÿ òîëüêî â îäíó ñòîðîíó, íàïðèìåð,

                         (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B),

(âñÿêèé ýëåìåíò èç A ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ýëåìåíòîì è B ) òî ãîâîðÿò,
÷òî  A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì B  èëè  A ñîäåðæèòñÿ â B  è ïèøóò

                         A⊂B      (èëè A ⊆ B)

Òàêèì îáðàçîì,
                      A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
(êàæäûé ýëåìåíò èç A ïðèíàäëåæèò B è íàîáîðîò.)
   Èíîãäà ìíîæåñòâà çàäàþò ïðîñòûì ïåðå÷èñëåíèåì âñåõ ýëåìåíòîâ (â
ôèãóðíûõ ñêîáêàõ). Íàïðèìåð, {a, b, c}  ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òðåõ
ýëåìåíòîâ. Íî îñíîâíîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâ äàåò ñëåäóþùàÿ êîí-
ñòðóêöèÿ.

Страницы