Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

G ⊂ (dom G) × (ran G) ⊂ X × Y
X R X
2
R
X
(x, y) ∈ R x R y x
R y
X
R X
2
R = {(x, y) : x = y}
(x, y) ∈ R x R y x = y
R
def
= = R X
X = R Q R
def
= {(x, y) : x 6
y} R =6 x 6 y
(x, y) ∈6
R X
∀x ∈ X xRx
∀x, y ∈ X xR y yRx ⇒ x = y
∀x, y, z ∈ X xRy yRz ⇒ xRz
X = P(E)
R
def
= {(A, B) : A ⊂ E ∧ B ⊂ E ∧ A ⊂ B}.
E R ⊂
R =⊂
⊂ R P(E)
E
X = N <= {(n, m) : n m}
n < m
def
⇔ n m
<
R
X
∀x ∈ X xRx
∀x, y ∈ X xR y ⇒ yRx
∀x, y, z ∈ X xRy yRz ⇒ xRz
Ëåêöèÿ 3                                                             27


    Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî G ⊂ (dom G) × (ran G) ⊂ X × Y .
    Åñëè X ìíîæåñòâî è R ãðàôèê â äåêàðòîâîì êâàäðàòå X 2 , òî R ÷àñòî
íàçûâàþò îòíîøåíèåì â X . Ïðè òàêîé òåðìèíîëîãèè ÷àùå âñåãî âìåñòî
(x, y) ∈ R ïèøóò x R y è ãîâîðÿò, ÷òî (ýëåìåíò) x íàõîäèòñÿ â îòíîøåíèè
R ñ (ýëåìåíòîì) y .
    Ïðèìåðû. 1) Ïóñòü X  ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Îáîçíà÷èì
÷åðåç R äèàãîíàëü äåêàðòîâà êâàäðàòà X 2 :

                          R = {(x, y) : x = y}

Òîãäà (x, y) ∈ R èëè, ÷òî òî æå ñàìîå x R y , îçíà÷àåò x = y . È ïîýòîìó
                   def
ìîæíî íàïèñàòü R = = (ò.å. R  îòíîøåíèå ðàâåíñòâà â ìíîæåñòâå X ).
                                                         def
    2) Ïóñòü X = R (èëè Q). Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì R = {(x, y) : x 6
y}. Òî åñòü R =6. È â ýòîì ñëó÷àå ïðåèìóùåñòâî çàïèñè x 6 y ïåðåä
(x, y) ∈6 íè ó êîãî íå âûçûâàåò ñîìíåíèé.
    Ñëåäóþùåå îáîáùåíèå ïîñëåäíåãî ïðèìåðà íàì ïîíàäîáèòñÿ â äàëüíåé-
øåì.
    Îïðåäåëåíèå. Îòíîøåíèå R â X íàçûâàþò îòíîøåíèåì ïîðÿäêà (èëè
èíîãäà îòíîøåíèåì ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà ), åñëè îíî îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:
    1. ∀x ∈ X xRx (ðåôëåêñèâíîñòü),
    2. ∀x, y ∈ X xRy è yRx ⇒ x = y (àíòèñèììåòðè÷íîñòü),
    3. ∀x, y, z ∈ X xRy è yRz ⇒ xRz (òðàíçèòèâíîñòü).
    Ïðèìåðû. 1) Ïóñòü X = P(E) è

                 def
               R = {(A, B) : A ⊂ E ∧ B ⊂ E ∧ A ⊂ B}.

Î÷åâèäíî, íà ïîäìíîæåñòâàõ èç E îòíîøåíèå R ñîâïàäàåò ñ ⊂ (íî â îáùåì
ñëó÷àå, åñëè áûòü ïåäàíòè÷íûì, íàïèñàòü ðàâåíñòâî R =⊂ íåëüçÿ, òàê êàê
⊂ èìååò îáëàñòüþ îòïðàâëåíèÿ êëàññ âñåõ ìíîæåñòâ, à R òîëüêî P(E) 
âñåõ ïîäìíîæåñòâ èç E ).
   2) Ïîëîæèì X = N è <= {(n, m) : n äåëèòñÿ íàöåëî íà m}. Òî åñòü
                  def
ìû ïèøåì n < m ⇔ n äåëèòñÿ íàöåëî íà m. Ðåôëåêñèâíîñòü, àíòèñèì-
ìåòðè÷íîñòü è òðàíçèòèâíîñòü ýòîãî îòíîøåíèÿ âïîëíå î÷åâèäíà. Òàêèì
îáðàçîì, <  îòíîøåíèå ïîðÿäêà.
   Åùå îäèí òèï îòíîøåíèé î÷åíü ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ â ìàòåìàòèêå.
   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî R  îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíî-
æåñòâå X , åñëè îíî îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:
   1. ∀x ∈ X xRx (ðåôëåêñèâíîñòü)
   2. ∀x, y ∈ X xRy ⇒ yRx (ñèììåòðè÷íîñòü)
   3. ∀x, y, z ∈ X xRy è yRz ⇒ xRz (òðàíçèòèâíîñòü)

Страницы