Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

( ) X
X × X → X
X
> : X × X → X
>(x, y) = z x>y = z
+ × · − : ⊕ ⊗ > ⊥
X
> ⊥ X
> ⊥
R
+ · 6
R
∀x, y, z ∈ R (x + y) + z = x + (y + z)
∃0 ∀x ∈ R x + 0 = 0 + x = x
∀x ∈ R ∃(−x) x + (−x) = 0
∀x, y ∈ R x + y = y + x
R
∗
= R − {0}
∀x, y, z ∈ R
∗
(x · y) · z = x · (y · z)
∃1 ∀x ∈ R
∗
x · 1 = 1 · x = x
∀x ∈ R
∗
∃(x
−1
) x · x
−1
= 1
∀x, y ∈ R
∗
x · y = y · x
∀x, y, z ∈ R x(y + z) = xy + xz
R 6
Ëåêöèÿ 5                                                                      37


Àêñèîìû äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
Îòìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî òåðìèíû äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî è âåùåñòâåííîå
÷èñëî  ñèíîíèìû (âòîðîå íàçâàíèå óñòàðåâøåå2 ) è ïðèâåäåì åùå îäíî
îïðåäåëåíèå.
   Îïðåäåëåíèå. Àëãåáðàè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ (áèíàðíàÿ) íà ìíîæåñòâå X
ýòî îòîáðàæåíèå X × X → X (äðóãîå íàçâàíèå: âíóòðåííèé çàêîí êîìïî-
çèöèè íà X )
   Åñëè > : X × X → X  àëãåáðàè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ, òî îáû÷íî âìåñòî
>(x, y) = z ïèøóò x>y = z . Íàèáîëåå óïîòðåáèìûìè çíàêàìè äëÿ îáîçíà-
÷åíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé ÿâëÿþòñÿ +, ×, ·, −, :, ⊕, ⊗, >, ⊥. Åñëè
íà ìíîæåñòâå X çàôèêñèðîâàëè êàêóþ-íèáóäü àëãåáðàè÷åñêóþ îïåðàöèþ
(èëè íåñêîëüêî, íàïðèìåð, > è ⊥), òî ãîâîðÿò, ÷òî X íàäåëåíî îïåðàöèåé
(èëè äâóìÿ > è ⊥).
   Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R íàçûâàåòñÿ âñÿ-
êîå ìíîæåñòâî, íàäåëåííîå äâóìÿ àëãåáðàè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè (îáû÷íî
îáîçíà÷àåìûìè + è ·) è îòíîøåíèåì (ïîðÿäêà, îáîçíà÷àåìûì 6), òàê ÷òî
âûïîëíÿþòñÿ ñâîéñòâà (èõ íàçûâàþò àêñèîìàìè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë):
   I. Îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ R  àáåëåâà ãðóïïà, ò.å. ñëîæåíèå îáëàäàåò
ñâîéñòâàìè:
   1. ∀x, y, z ∈ R (x + y) + z = x + (y + z) (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ)
   2. ∃0 ∀x ∈ R x + 0 = 0 + x = x (ñóùåñòâîâàíèå íåéòðàëüíîãî ýëåìåíòà
äëÿ ñëîæåíèÿ)
   3. ∀x ∈ R ∃(−x) x + (−x) = 0 (ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ýëåìåíòà äëÿ
ñëîæåíèÿ)
   4. ∀x, y ∈ R x + y = y + x (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ)
   II. Îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ ìíîæåñòâî R∗ = R − {0} (ò.å. ìíîæåñòâî
âñåõ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ) òîæå ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé, ò.å.
   1. ∀x, y, z ∈ R∗ (x · y) · z = x · (y · z) (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ)
   2. ∃1 ∀x ∈ R∗ x · 1 = 1 · x = x (ñóùåñòâîâàíèå íåéòðàëüíîãî ýëåìåíòà
äëÿ óìíîæåíèÿ)
   3. ∀x ∈ R∗ ∃(x−1 ) x · x−1 = 1 (ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ýëåìåíòà äëÿ
óìíîæåíèÿ)
   4. ∀x, y ∈ R∗ x · y = y · x (êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ)
   III. Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé çàêîíîì
äèñòðèáóòèâíîñòè (óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ)
   ∀x, y, z ∈ R x(y + z) = xy + xz
   IV. Ìíîæåñòâî R ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíî îòíîñèòåëüíî îòíîøåíèÿ 6, ò.å.
  2 Ãîâîðÿò, ÷òî â àëãåáðàè÷åñêîé íàó÷íîé ëèòåðàòóðå ñòàíîâèòñÿ ïîïóëÿðíûì òåðìèí
¾ðåàëüíîå ÷èñëî¿ (Ã.Ê. Ïàê)

Страницы