Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(∃M)(∀x ∈ A) x 6 M
M A
A ⊂ R
m A M
(∃m)(∀x) x ∈ A ⇒ x > m
(∃m)(∀x ∈ A) x > m
m A
a
A a = min A
a ∈ A
∀x ∈ A x > a
b
A a = max A
b ∈ A
∀x ∈ A x 6 b
(a, b)
def
⇔ {x : a < x < b}
[a, b]
def
⇔ {x : a 6 x 6 b}
a b
A
A a = sup A a
(∀x ∈ A) x 6 a a
(∀a
0
< a) (∃x) x ∈ A x > a
0
a
a
2
0
(∀ε > 0) (∃x) x ∈ A x > a − ε
sup A = ∞
A
A
b = inf A b
(∀x ∈ E) P(x)
def
= (∀x)(x ∈ E ⇒ P (x))
(∃x ∈ E) P (x)
def
= (∃x)(x ∈ E ∧ P(x))
40                                                              Êëåâ÷èõèí Þ.À


Èñïîëüçóÿ îáùåïðèíÿòûå ñîêðàùåíèÿ1 , òî æå ñàìîå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
(∃M )(∀x ∈ A) x 6 M .
   ×èñëî M â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ âåðõíåé ãðàíèöåé ìíîæåñòâà A èëè
èíà÷å, ìàæîðàíòîé (îò èòàëüÿíñêîãî ñëîâà ìàæîð áîëüøèé).
   Ìíîæåñòâî A ⊂ R íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì ñíèçó, åñëè ñóùåñòâóåò
òàêîå ÷èñëî m, ÷òî âñå ÷èñëà èç A áîëüøå ýòîãî M :
                             (∃m)(∀x) x ∈ A ⇒ x > m
Îïÿòü, êîðî÷å òî æå ñàìîå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (∃m)(∀x ∈ A) x > m.
    ×èñëî m íàçûâàåòñÿ íèæíåé ãðàíèöåé ìíîæåñòâà A èëè èíà÷å, ìèíî-
ðàíòîé (îò èòàëüÿíñêîãî ñëîâà ìèíîð ìåíüøèé).
    ×èñëî a íàçûâàåòñÿ ìèíèìóìîì (èëè ìèíèìàëüíûì ýëåìåíòîì ) ìíî-
æåñòâà A (ïèøóò a = min A), êîãäà îíî îáëàäàåò äâóìÿ ñâîéñòâàìè:
    1. a ∈ A;
    2. ∀x ∈ A x > a.
    ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ìàêñèìóìîì (èëè ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì ) ìíî-
æåñòâà A (ïèøóò a = max A), êîãäà îíî îáëàäàåò äâóìÿ ñâîéñòâàìè:
    1. b ∈ A;
    2. ∀x ∈ A x 6 b.
    Äàëåêî íå âñÿêîå ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (äàæå îãðàíè÷åííîå)
èìååò ìàêñèìàëüíûé èëè ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò. Íàïðèìåð, èíòåðâàë
       def
(a, b) ⇔ {x : a < x < b}, î÷åâèäíî, íå èìååò íè ìàêñèìàëüíîãî íè ìè-
                                            def
íèìàëüíîãî ýëåìåíòà, à ñåãìåíò [a, b] ⇔ {x : a 6 x 6 b} èìååò è ìèíè-
ìàëüíûé è ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíòû (a è b ñîîòâåòñòâåííî).
   Îïðåäåëåíèå. Òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ (èëè, èíà÷å, ñóïð    åìóìîì ) ìíî-
æåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà âñåõ ìàæîðàíò
ìíîæåñòâà A (îáîçíà÷åíèå: a = sup A), ò.å. ÷èñëî a ñî ñâîéñòâàìè:
   1) (∀x ∈ A) x 6 a (ò.å. a ÿâëÿåòñÿ ìàæîðàíòîé)
   2) (∀a0 < a) (∃x) x ∈ A è x > a0 (ò.å. ëþáîå ìåíüøåå ÷åì a ÷èñëî íå
ÿâëÿåòñÿ ìàæîðàíòîé è, çíà÷èò, a  íàèìåíüøàÿ èç ìàæîðàíò).
   Ñâîéñòâî 2) èìååò ðàâíîñèëüíóþ ôîðìóëèðîâêó (ïñèõîëîãè÷åñêè ïðåä-
ïî÷òèòåëüíóþ äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ):
   20 ) (∀ε > 0) (∃x) x ∈ A è x > a − ε
(Åñëè ìíîæåñòâî ìàæîðàíò ïóñòî, ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò sup A = ∞)
   Òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ (èëè, èíà÷å, è    íôèìóìîì ) ìíîæåñòâà A íàçûâà-
åòñÿ ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà âñåõ ìèíîðàíò ìíîæåñòâà A (îáî-
çíà÷åíèå: b = inf A), ò.å. ÷èñëî b ñî ñâîéñòâàìè:
     1 Îáû÷íî â àíàëèçå èñïîëüçóþò ñîêðàùåíèÿ: (∀x ∈ E) P (x) def
                                                              = (∀x)(x ∈ E ⇒ P (x))
                 def
è (∃x ∈ E) P (x) = (∃x)(x ∈ E ∧ P (x))

Страницы