Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
0
x
0
> 0 x
0
−1 x
0
< 0
x 0, x
1
x
2
. . . x
n
. . .
x
N
x
N+1
. . . x
N+p
x = x
0
, x
1
. . . x
N
z }| {
x
N+1
. . . x
N+p
x
N+1
. . . x
N+p
. . .
def
= x
0
, x
1
. . . x
N
(x
N+1
. . . x
N+p
).
x
N+1
. . . x
N+p
9 R
R 6
x = x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
. . . |x| =
|x
0
|, x
1
x
2
. . . x
n
. . .
x = x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
. . .
y = y
0
, y
1
y
2
. . . y
n
. . . ∀k > 0 x
k
= y
k
x
0
, x
1
x
2
. . . x
n−1
x
n
. . .
q q q . . . q q . . .
y
0
, y
1
y
2
. . . y
n−1
y
n
. . .
x > 0 x x 6= 0 x
0
> 0
x = x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
. . .
>
<
x = x
0
, x
1
x
2
. . . x
n
··· > 0 y = y
0
, y
1
y
2
. . . y
n
··· > 0
x < y
def
⇔ x
0
< y
0
x
0
= y
0
∧ (∃n > 1) (∀k) k < n ⇒ x
k
= y
k
∧ x
n
< y
n
x < y
(x
n
< y
n
)
x
0
, x
1
x
2
. . . x
n−1
x
n
. . .
q q q . . . q ∧
y
0
, y
1
y
2
. . . y
n−1
y
n
. . .
 Ëåêöèÿ 6                                                                                         45


    Öåëîå ÷èñëî x0 ïðè x0 > 0 è x0 − 1 ïðè x0 < 0 íàçûâàþò öåëîé ÷àñòüþ
 äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà x, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 0, x1 x2 . . . xn . . .  äðîáíîé
 ÷àñòüþ ÷èñëà x.
    Ãîâîðÿò, ÷òî áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü ïåðèîäè÷íà, åñëè ñóùåñòâó-
 åò òàêîå öåëîå ÷èñëî N , íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî íåêîòîðûé îòðåçîê äðîáè
 xN +1 . . . xN +p áåñêîíå÷íî ïîâòîðÿåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
                       ïåðèîä äðîáè
                     z      }|       {                       def
x = x0 , x1 . . . xN xN +1 . . . xN +p xN +1 . . . xN +p . . .= x0 , x1 . . . xN (xN +1 . . . xN +p ).
 Ïðè ýòîì xN +1 . . . xN +p íàçûâàþò ïåðèîäîì ïåðèîäè÷åñêîé áåñêîíå÷íîé
 äåñÿòè÷íîé äðîáè.
    Îïðåäåëåíèå. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ áåñêîíå÷íûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, íå
 èìåþùèõ ïåðèîäîì 9, íàçîâåì ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R.
      Çàäàäèì íà R ñíà÷àëà îòíîøåíèå ïîðÿäêà 6 (ïðè ýòîì ìû ñ÷èòàåì èç-
 âåñòíîé òåîðèþ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë). Ïðåäâàðèòåëüíî îòìåòèì, ÷òî ìî-
 äóëåì äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà x = x0 , x1 x2 . . . xn . . . íàçûâàåòñÿ ÷èñëî |x| =
 |x0 |, x1 x2 . . . xn . . .
    Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÷èñëî x = x0 , x1 x2 . . . xn . . . ðàâíî
 ÷èñëó y = y0 , y1 y2 . . . yn . . . òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∀k > 0 xk = yk :
                            x0 ,   x1    x2    ...    xn−1     xn    ...
                             q      q     q    ...      q       q    ...
                            y0 ,   y1    y2    ...    yn−1     yn    ...

     Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî x > 0 (x ñòîðî áîëüøå íóëÿ), êîãäà x 6= 0 è x0 > 0,
 ò.å. êîãäà áîëüøå íóëÿ öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà x = x0 , x1 x2 . . . xn . . . (äëÿ öåëûõ
 ÷èñåë îòíîøåíèå > îïðåäåëåíî!)
     Îïðåäåëèì ñíà÷àëà îòíîøåíèå < (ñòðîãî ìåíüøå) äëÿ ÷èñåë áîëüøå íó-
 ëÿ: åñëè x = x0 , x1 x2 . . . xn · · · > 0, y = y0 , y1 y2 . . . yn · · · > 0 ïî îïðåäåëåíèþ
 ïîëîæèì (îïðåäåëåíèå èíäóêòèâíîå!)
         def
 x < y ⇔ x0 < y0          èëè x0 = y0 ∧ (∃n > 1) (∀k) k < n ⇒ xk = yk ∧ xn < yn
 Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà x < y ïåðâûå íåñêîëüêî çíàêîâ
 ìîãóò ñîâïàäàòü, íî íà ïåðâîì æå ìåñòå, ãäå åñòü íåñîâïàäåíèå, äîëæíî
 áûòü ñòðîãîå íåðàâåíñòâî (xn < yn ). Êàê âåäóò ñåáÿ îñòàëüíûå çíàêè ýòèõ
 áåñêîíå÷íûõ äðîáåé, íå âàæíî! Íàãëÿäíî ýòî ìîæíî èçîáðàçèòü òàê:
                            x0 , x1      x2    ...    xn−1     xn    ...
                             q    q       q    ...      q      ∧
                            y0 , y1      y2    ...    yn−1     yn    ...

Страницы