Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

C n |x
n
| C
x
n
=
n + 100
n + 1
|x
n
| =
¯
¯
¯
n + 100
n + 1
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
n + 1 + 99
n + 1
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
1 +
99
n + 1
¯
¯
¯
6 1 +
99
2
= C.
x
n
= n
(−1)
n
1, 2,
1
3
, 4,
1
5
, 6,
1
7
, . . .
C > 0
n >
C
2
x
2n
= (2n)
(−1)
2n
= 2n > C
a (x
n
)
n∈N
lim
n→∞
x
n
= a ε > 0 N
x
n
n > N |x
n
− a| < ε
lim
n→∞
x
n
= a
def
⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ⇒ |x
n
− a| < ε
ε a
U
ε
(a) = {x : |x − a| < ε} = {x : a −ε < x < a + ε} = (a −ε, a + ε).
x U
ε
(a) x ∈ U
ε
(a)
|x −a| < ε a −ε < x <
a + ε
Ëåêöèÿ 7                                                                      51


(äëÿ ëþáîãî C íàéäåòñÿ (ñóùåñòâóåò) òàêîå n, ÷òî |xn | áîëüøå ýòîãî C )
                               n + 100
   Ïðèìåðû. 1) Ïóñòü xn =              . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà,
                                n+1
÷òî âèäíî èç îöåíêè:
               ¯ n + 100 ¯ ¯ n + 1 + 99 ¯ ¯       99 ¯¯     99
               ¯         ¯ ¯            ¯ ¯
       |xn | = ¯         ¯=¯            ¯ = ¯1 +      ¯61+     = C.
                  n+1          n+1               n+1         2
                        n
   2) Ïóñòü xn = n(−1) . Âûïèøåì íåñêîëüêî ÷ëåíîâ ýòîé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè:
                                1    1    1
                           1, 2, , 4, , 6, , . . .
                                3    5    7
Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîãðàíè÷åíà.
   Â ñàìîì äåëå, äëÿ ëþáîãî C > 0 (ïî ñëåäñòâèþ èç ïðèíöèïà Àðõèìåäà)
                                                   2n
íàéäåòñÿ öåëîå ÷èñëî n > C2 . Òîãäà x2n = (2n)(−1) = 2n > C . ×.Ò.Ä.
   Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå  îäíî èç ãëàâíûõ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíà-
ëèçà. Îíî ôîðìàëèçóåò íàøå ïðåäñòàâëåíèå î âîçìîæíîñòè ïðèáëèçèòü
÷èñëî ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ ïîñðåäñòâîì çíà÷åíèé çàäàííîé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè, ïðè÷åì òàê, ÷òî âñå ñëåäóþùèå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äàþò
ïðèáëèæåíèå íå õóæå.
   Îïðåäåëåíèå. ×èñëî a íàçûâàþò ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn )n∈N
è ïèøóò lim xn = a, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî N , ÷òî
         n→∞
äëÿ âñåõ xn ñ íîìåðàìè n > N âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |xn − a| < ε.
    êðàòêîé ñèìâîëè÷åñêîé ôîðìå ýòî îïðåäåëåíèå ìîæíî çàïèñàòü â
âèäå:
                        def
             lim xn = a ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ⇒ |xn − a| < ε
             n→∞

   Ïðèâåäåííîå ÷èñòî  àíàëèòè÷åñêîå  îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè äîïóñêàåò íåìíîãî áîëåå íàãëÿäíóþ  ãåîìåòðè÷åñêóþ  ôîðìó-
ëèðîâêó. Ïðåäâàðèòåëüíî ïîëåçíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïîíÿòèå.
   Îïðåäåëåíèå. Íàçîâåì ε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè a (èëè ïðîñòî îêðåñò-
íîñòüþ ) ìíîæåñòâî

     Uε (a) = {x : |x − a| < ε} = {x : a − ε < x < a + ε} = (a − ε, a + ε).

×òî âïîëíå ñîãëàñóåòñÿ ñ îáû÷íûì ïîíèìàíèåì òîãî, ÷òî òàêîå îêðåñòíîñòü
òî÷êè íà ïðÿìîé  ýòî òî, ÷òî ëåæèò íåìíîãî ëåâåå èëè íåìíîãî ïðàâåå.
   Îòìåòèì, ÷òî ïðèíàäëåæíîñòü x îêðåñòíîñòè Uε (a) (ò.å. x ∈ Uε (a)) îçíà-
÷àåò âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà |x − a| < ε èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, a − ε < x <
a + ε.
   À òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:

Страницы