Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

lim
n→∞
x
n
= a ∧ lim
n→∞
x
n
= b ⇒ a = b.
|a − b| = |a − x
n
+ x
n
− b| 6 |a − x
n
| + |x
n
− b| = |x
n
− a| + |x
n
− b| (∗)
lim
n→∞
x
n
= a N
1
n > N
1
|x
n
−a| < ε/2
N
2
n > N
2
|x
n
− b| < ε/2
n > max{N
1
, N
2
}
(∗) |a−b| < ε ε > 0
|a − b| = 0
a = b
|a −b| > 0 ε =
|b−a|
2
U
ε
(a) U
ε
(b)
-
a+b
2
()( )
r r
a
b
|{z}
b−a
2
|{z}
b−a
2
lim
n→∞
x
n
= a N
1
x
n
∈ U
ε
(a)
lim
n→∞
x
n
= b N
2
x
n
∈ U
ε
(b)
|a − b| > 0
|a − b| = 0
(x
n
)
lim
n→∞
x
n
= a 6= ∞ ⇒ {x
n
: n ∈ N}
lim
n→∞
x
n
= a ε = 1
N n > N x
n
U
1
(a) = (a−1; a+1)
x ∈ U
ε
(a) |x − b| = |(x − a) − (b − a)| > |b − a| −
|x − a| > 2ε − ε = ε x /∈ U
ε
(b)
54                                                                   Êëåâ÷èõèí Þ.À


   Òåîðåìà. Ó ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæåò ñóùåñòâîâàòü íå áî-
ëåå îäíîãî ïðåäåëà.

                         lim xn = a ∧ lim xn = b ⇒ a = b.
                        n→∞              n→∞

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðèâåäåì äâà äîêàçàòåëüñòâà. Ïåðâîå ÷èñòî
àëãåáðàè÷åñêîå, à âòîðîå áîëåå àïïåëèðóåò ê ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëå-
íèÿì.
   Èòàê, îöåíèì ðàçíîñòü

     |a − b| = |a − xn + xn − b| 6 |a − xn | + |xn − b| = |xn − a| + |xn − b|         (∗)

     Òàê êàê lim xn = a, íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî N1 , ÷òî ïðè âñåõ n > N1
               n→∞
áóäåì èìåòü íåðàâåíñòâî |xn − a| < ε/2. Ïî àíàëîãè÷íîé ïðè÷èíå íàéäåòñÿ
òàêîå N2 , ÷òî ïðè n > N2 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |xn − b| < ε/2.
Ïîýòîìó, åñëè n > max{N1 , N2 }, áóäóò âûïîëíåíû îáà íåðàâåíñòâà è òîãäà
èç îöåíêè (∗) ñëåäóåò, ÷òî |a−b| < ε. Ýòî âåðíî äëÿ ëþáîãî ε > 0. Ñîãëàñíî
ñëåäñòâèÿì èç ñâîéñòâà Àðõèìåäà îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî |a − b| = 0, ò.å.
a = b, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
    Áîëåå ãåîìåòðè÷íîå äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè ïðåäïîëî-
æèòü, ÷òî |a − b| > 0, òî, áåðÿ â êà÷åñòâå ε = |b−a|
                                                 2 , âèäèì, ÷òî îêðåñòíîñòè
Uε (a) è Uε (b) íå ïåðåñåêàþòñÿ. 1
                                                 a+b
                                       ar     2
                                                       rb          -
                                 (      | {z })(| {z }         )
                                           b−a         b−a
                                            2           2

Íî â ñèëó ðàâåíñòâà lim xn = a íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî N1 âñå xn ∈ Uε (a),
                         n→∞
à â ñèëó ðàâåíñòâà lim xn = b íà÷èíàÿ ñ êàêîãî-òî N2 âñå xn ∈ Uε (b)?!
                        n→∞
Ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ëîæíîñòü ïðåäïîëîæåíèÿ |a − b| > 0, çíà÷èò,
|a − b| = 0. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Òåîðåìà. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) ñõîäèòñÿ, òî îíà îãðàíè÷åíà
(îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî).

                 lim xn = a 6= ∞ ⇒ {xn : n ∈ N}  îãðàíè÷åíî.
                n→∞

     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðåäïîëîæèì lim xn = a. Âûáðàâ ε = 1, ïîäáå-
                                                   n→∞
ðåì N òàê, ÷òîáû ïðè n > N âñå xn ïîïàëè â èíòåðâàë U1 (a) = (a−1; a+1).
   1 Àëãåáðàè÷åñêàÿ âûêëàäêà: åñëè x ∈ U (a), òî |x − b| = |(x − a) − (b − a)| > |b − a| −
                                          ε
|x − a| > 2ε − ε = ε, çíà÷èò, x ∈
                                / Uε (b).

Страницы