Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
1
, x
2
, . . . , x
N
m = min{x
1
, x
2
, . . . , x
N
, x
n
0
− 1}
M = max{x
1
, x
2
, . . . , x
N
, x
n
0
+ 1} n
m 6 x
n
6 M
(x
n
)
( )
(⇒) lim
n→∞
x
n
= a
ε > 0 N n > N
|x
n
−a| < ε/2 p > 0 |x
n+p
−a| < ε/2
|x
n+p
− x
n
| = |x
n+p
− a + a − x
n
| 6 |x
n+p
− a| + |x
n
− a| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
(⇐) (x
n
)
(x
n
k
) lim
k→∞
x
n
k
= a
(x
n
) a
|x
n
− a| = |x
n
− x
n
k
+ x
n
k
− a| 6 |x
n
− x
n
k
| + |x
n
k
− a| < ∗
N
1
n, m > N
1
|x
n
−
x
m
| < ε/2 N
2
k > N
2
|x
n
k
− a| < ε/2 k > max{N
1
, N
2
} n
k
> k
∗ < ε/2 + ε/2 = ε.
x
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+ ··· +
1
n
|x
n
− x
n+p
| =
p
z }| {
1
n + 1
+ ··· +
1
n + p
> p ·
1
n + p
(∗ ∗ ∗)
∃ε > 0 ∀N ∃n > N ∃p > 0 |x
n
− x
n+p
| > ε
n > N n = N + 1 p = n
66                                                              Êëåâ÷èõèí Þ.À


áûòü òîëüêî x1 , x2 , . . . , xN . Ïîëîæèì m = min{x1 , x2 , . . . , xN , xn0 − 1} è
M = max{x1 , x2 , . . . , xN , xn0 + 1}. Î÷åâèäíî, òîãäà äëÿ ëþáûõ n èìååì
m 6 xn 6 M . ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
    Òåîðåìà (Êðèòåðèé Êîøè). Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn )
ñõîäèëàñü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà ôóíäàìåíòàëüíà
(èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ Êîøè).
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. (⇒) Ïóñòü lim xn = a. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
                                           n→∞
ε > 0 íàéäåì N òàê, ÷òîáû ïðè âñåõ n > N âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî
|xn − a| < ε/2. Íî òîãäà è äëÿ ëþáîãî p > 0 áóäåò |xn+p − a| < ε/2. Ïîýòîìó
                                                                     ε ε
     |xn+p − xn | = |xn+p − a + a − xn | 6 |xn+p − a| + |xn − a| <    + = ε.
                                                                     2 2
è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíà.
   (⇐) Ïóñòü (xn ) ôóíäàìåíòàëüíà. Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå îíà îãðàíè-
÷åíà, à ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà èç íåå ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿ-
ùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñêàæåì, (xnk ), lim xnk = a. Ïîêàæåì, ÷òî
                                                     k→∞
è âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) òîæå ñõîäèòñÿ ê a.
   Â ñàìîì äåëå,

          |xn − a| = |xn − xnk + xnk − a| 6 |xn − xnk | + |xnk − a| < ∗

Âûáåðåì N1 òàê, ÷òîáû ïðè âñåõ n, m > N1 âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |xn −
xm | < ε/2 è âûáåðåì N2 òàê, ÷òîáû ïðè k > N2 âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî
|xnk − a| < ε/2. Òîãäà ïðè k > max{N1 , N2 } (ó÷èòûâàÿ, ÷òî nk > k ) îáà
íåðàâåíñòâà âûïîëíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî, ïîýòîìó

                                ∗ < ε/2 + ε/2 = ε.

×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Î÷åíü ÷àñòî êðèòåðèé Êîøè ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàñõîäè-
ìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé:
   Ïðèìåð. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = 1 + 21 + 13 + · · · + n
                                                         1
                                                           ðàñõîäèòñÿ.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîêàæåì, ÷òî óñëîâèå Êîøè íå âûïîëíåíî
(òî åñòü âûïîëíåíî îòðèöàíèå óñëîâèÿ Êîøè). Èìååì
                                     pñëàãàåìûõ
                                z     }|       {
                                 1           1        1
                 |xn − xn+p | =     + ··· +      >p·                         (∗ ∗ ∗)
                                n+1         n+p      n+p
Ïîêàæåì, ÷òî ∃ε > 0 ∀N ∃n > N è ∃p > 0: |xn − xn+p | > ε. Äëÿ ýòîãî
âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå n > N (íàïðèìåð, n = N + 1) è p = n. Òîãäà,

Страницы