Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x x
0
x x
0
x x
0
x
0
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : x
0
< x < x
0
+ δ ⇒ |f(x) − A| < ε.
x
0
= 0 lim
x→±0
f(x) lim
x→0±0
f(x)
lim
x→x
0
±0
f(x)
f(x
0
± 0)
f(x) = sgn x
-
6
¾
-
x
y
r
lim
x→0
sgn x
lim
x→−0
sgn x = −1, lim
x→+0
sgn x = +1.
lim
x→x
0
f(x) = A
A
(⇒) |f(x) −A| < ε x
◦
U
δ
(x
0
)
x (x
0
− δ; x
0
)
(x
0
; x
0
+ δ)
(⇐) ε > 0 δ
1
0 <
x
0
−x < δ
1
|f(x) −A| < ε δ
2
0 < x − x
0
< δ
2
δ = min{δ
1
, δ
2
} x
◦
U
δ
(x
0
)
|f(x) − A| < ε
70                                                           Êëåâ÷èõèí Þ.À


Òåðìèí ïðåäåë ïðè ñòðåìëåíèè x ê x0 ñëåâà ñîîòâåòñòâóåò èíòóèòèâíî-
ìó ïðåäñòàâëåíèþ î ïðèáëèæåíèè x ê x0 ñëåâà, ò.å. x, ïðèáëèæàÿñü ê x0
îñòàåòñÿ âñåãäà ìåíüøå x0 .
   Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèå ïðåäåëà ñïðàâà (ìû ïðèâîäèì åãî
òîëüêî â êðàòêîé ñèìâîëè÷åñêîé ôîðìå):

            ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : x0 < x < x0 + δ ⇒ |f (x) − A| < ε.

   Ïðåäåëû ñïðâà è ñëåâà íàçûâàþò îäíîñòîðîííèìè. Îòìåòèì, ÷òî â ñëó-
÷àå, êîãäà x0 = 0 â îáîçíà÷åíèè ïðåäåëà ïèøóò lim f (x) (à íå lim f (x)).
                                                  x→±0            x→0±0
     Î÷åíü ÷àñòî äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû         lim      f (x)
                                                                    x→x0 ±0
îáîçíà÷àþò ñèìâîëàìè f (x0 ± 0).
   Ïðèìåð. Ïóñòü f (x) = sgn x. Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè èìååò âèä:
                                  ¾y
                                  6
                                  r          -
                                0            x
                               -
     Î÷åâèäíî, ïðåäåëà lim sgn x íå ñóùåñòâóåò. Òåì íå ìåíåå ñóùåñòâóþò
                         x→0
îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû. Íàïðèìåð, î÷åâèäíî,

                   lim sgn x = −1,    è    lim sgn x = +1.
                  x→−0                    x→+0


     Òåîðåìà.   Ïðåäåë lim f (x) = A ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà,
                       x→x0
êîãäà ñóùåñòâóþò è ðàâíû A îáà îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëà.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. (⇒) Ïîñêîëüêó |f (x) − A| < ε ïðè âñåõ x èç
                           ◦
ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U δ (x0 ), òåì áîëåå ýòî íåðàâåíñòâî áóäåò âûïîë-
íÿòüñÿ ïðè âñåõ x èç ëåâîé (ñîîòâ. ïðàâîé) ïîëóîêðåñòíîñòè (x0 − δ; x0 )
(ñîîòâ. (x0 ; x0 + δ)).
   (⇐) Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ïîäáåðåì ñíà÷àëà δ1 òàê, ÷òîáû ïðè 0 <
x0 − x < δ1 âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |f (x) − A| < ε. Ïîòîì âûáåðåì δ2 òàê,
÷òîáû ïðè 0 < x − x0 < δ2 âûïîëíÿëîñü òî æå ñàìîå íåðàâåíñòâî. Òîãäà
                           ◦
ïðè δ = min{δ1 , δ2 } è x èç U δ (x0 ), î÷åâèäíî, áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
|f (x) − A| < ε.
    ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
    Âûïèøåì òåïåðü íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ â àíà-
ëèçå. Èõ íåîáõîäèìî çíàòü òàê, ÷òîáû íå çàäóìûâàÿñü ïðàâèëüíî è áûñòðî
âûïèñûâàòü. Äëÿ ýòîãî ïîëåçíî ïðåäñòàâèòü ãåîìåòðè÷åñêè, ÷òî îçíà÷àþò
çàïèñàííûå â ëîãè÷åñêèõ è àëãåáðàè÷åñêèõ ñèìâîëàõ ñâîéñòâà.

Страницы