Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

δ = min{δ
0
, δ
1
, δ
2
} > 0 x 0 < |x − x
0
| < δ
f g
|f(x)g(x) −AB| = |f(x)g(x) − Ag(x) + Ag(x) − AB| 6
6 |f(x) − A||g(x)| + |A||g(x) − B| 6
ε
2M
M + |A|
ε
2|A|
= ε.
lim
x→x
0
f(x) = A lim
x→x
0
g(x) = B 6= 0
δ
0
1
g( x)
1
|g ( x)|
< M
¯
¯
¯
f(x)
g(x)
−
A
B
¯
¯
¯
=
|f(x)B −Ag(x)|
|B||g(x)|
=
|f(x)B −AB + AB −Ag(x)|
|B||g(x)|
6
6 |f(x) − A|
1
|g(x)|
+
|A|
|B||g(x)|
|g(x) − B| 6 |f(x) − A|M +
|A|M
|B|
|g(x) − B|.
◦
U
δ
(x
0
) |f(x) −A| <
ε
2M
|g(x) − B| <
ε|B|
2|A|M
¯
¯
f(x)
g (x )
−
A
B
¯
¯
< ε
lim
y →y
0
f(y) = A lim
x→x
0
ϕ(x) = y
0
x
◦
U
δ
(x
0
) ϕ(x) 6= y
0
F (x) = f
¡
ϕ(x)
¢
x
0
lim
x→x
0
F (x) = lim
x→x
0
f
¡
ϕ(x)
¢
= lim
y →y
0
f(y) = A.
ε > 0 σ > 0
0 < |y − y
0
| < σ |f(y) − A| < ε
δ > 0 0 < |x − x
0
| < δ
0 < |ϕ(x) − y
0
| < σ ϕ(x) 6= y
0
x
|F (x) − A| = |f
¡
ϕ(x)
¢
− A| < ε.
lim
y →y
0
f(x) = f(y
0
)
ϕ(x) 6= y
0
Ëåêöèÿ 10                                                                  75


δ = min{δ0 , δ1 , δ2 } > 0 è ëþáûõ x: 0 < |x − x0 | < δ áóäóò âûïîëíÿòüñÿ âñå
óêàçàííûå íåðàâåíñòâà äëÿ f è g , ïîýòîìó

            |f (x)g(x) − AB| = |f (x)g(x) − Ag(x) + Ag(x) − AB| 6
                                                  ε           ε
           6 |f (x) − A||g(x)| + |A||g(x) − B| 6    M + |A|      = ε.
                                                 2M         2|A|

   ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà.
   3) Ïóñòü lim f (x) = A è lim g(x) = B 6= 0. Ïî äîêàçàííîé ðàíåå òå-
              x→x0              x→x0
                                                                 1
îðåìå íàéäåòñÿ ïðîêîëîòàÿ δ0 -îêðåñòíîñòü, â êîòîðîé ôóíêöèÿ g(x)  îãðà-
                 1
íè÷åíà (ïóñòü, |g(x)| < M ).  ýòîé îêðåñòíîñòè èìååì íåðàâåíñòâà
     ¯ f (x) A ¯ |f (x)B − Ag(x)|       |f (x)B − AB + AB − Ag(x)|
     ¯           ¯
     ¯      − ¯=                      =                               6
       g(x)    B       |B||g(x)|                   |B||g(x)|
                1       |A|                                  |A|M
6 |f (x) − A|       +          |g(x) − B| 6 |f (x) − A|M +        |g(x) − B|.
              |g(x)| |B||g(x)|                                |B|
                                         ◦
                                                                        ε
Âèäèì, ÷òî â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U δ (x0 ), â êîòîðîé |f (x) − A| < 2M è
                                ¯        ¯
              ε|B|              ¯ f (x) A¯
|g(x) − B| < 2|A|M áóäåì èìåòü g(x) − B < ε.
    ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
    Òåîðåìà (î çàìåíå ïåðåìåííîé â ïðåäåëå) Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðå-
äåë lim f (y) = A. Åñëè lim ϕ(x) = y0 , ïðè÷åì äëÿ âñåõ x èç íåêîòîðîé
    y→y0                  x→x0
                           ◦
ïðîêîëîòîé    îêðåñòíîñòè
                   ¡    ¢  U    âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ϕ(x) 6= y0 , òî
                             δ (x0 )
ôóíêöèÿ F (x) = f ϕ(x) èìååò ïðåäåë â òî÷êå x0 è
                                 ¡    ¢
                lim F (x) = lim f ϕ(x) = lim f (y) = A.
                  x→x0         x→x0            y→y0

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 âûáåðåì ñíà÷àëà σ > 0
òàê, ÷òîáû ïðè 0 < |y − y0 | < σ âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |f (y) − A| < ε.
Äàëåå, íàéäåì δ > 0, ÷òîáû ïðè 0 < |x − x0 | < δ âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî
0 < |ϕ(x) − y0 | < σ (áîëüøå íóëÿ, òàê êàê ϕ(x) 6= y0 ). Íî òîãäà ïðè ýòèõ x
                                         ¡    ¢
                         |F (x) − A| = |f ϕ(x) − A| < ε.

   ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Çàìå÷àíèå. Âïîëíå î÷åâèäíî, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà lim f (x) = f (y0 ),
                                                           y→y0
òðåáîâàíèå ϕ(x) 6= y0 ìîæíî îòáðîñèòü. Îíî èíîãäà ìîæåò áûòü ñëèøêîì
îãðàíè÷èòåëüíûì.

Страницы