Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

C[a, b] C(a, b)
[a, b] (a, b)
f ∈ C[a, b] f
[a, b]
y = x
n
y = sin x
y = cos x
y = log
a
x a 6= 1 a > 0
lim
x→x
0
sin x = sin x
0
sin R
log
a
x =
ln x
ln a
ln x
(0; +∞)
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e. (∗)
e e = lim
n→∞
¡
1 +
1
n
¢
n
(∗)
(n
k
)
+∞ ( )
lim
k→∞
³
1 +
1
n
k
´
n
k
= e
n
k
¡
1+
1
n
k
¢
n
k
¡
1 +
1
n
¢
n
e
e
82                                                         Êëåâ÷èõèí Þ.À


    Îïðåäåëåíèå. ×åðåç C[a, b] (ñîîòâ. C(a, b)) îáîçíà÷àþò ìíîæåñòâî âñåõ
íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [a, b]. (ñîîòâ. íà èíòåðâàëå (a, b)). Òàêèì
îáðàçîì, çàïèñü f ∈ C[a, b] îçíà÷àåò ïðîñòî, ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â
êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [a, b].
    Òåîðåìà Ñëåäóþùèå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû íà ñâîåé îá-
ëàñòè îïðåäåëåíèÿ :
    1) y = xn ;
    2) y = sin x;
    3) y = cos x;
    4) y = loga x (a 6= 1, a > 0).
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ôàêòè÷åñêè, ìû óæå äîêàçàëè ðàíåå, ÷òî
 lim sin x = sin x0 , ò.å. íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè sin â êàæäîé òî÷êå R. Äëÿ
x→x0
                                                  ln x
êîñèíóñà äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî, loga x =           , à íåïðåðûâíîñòü ln x
                                                  ln a
íà (0; +∞) óæå äîêàçàíà.
   Òåì íå ìåíåå ðåêîìåíäóåòñÿ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ ïðîâåñòè äåòàëüíûå
äîêàçàòåëüñòâà âñåõ ýòèõ ôàêòîâ.


Ëåêöèÿ 13
Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë
Òàê íàçûâàþò ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå:
                                        1
                             lim (1 + x) x = e.                           (∗)
                            x→0

                                                         ¡     ¢n
   Íàïîìíèì, ÷òî ÷èñëî e îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé e = lim 1 + n1 . Ïî-
                                                     n→∞
ýòîìó åñòåñòâåííî âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòèì îïðåäåëåíèåì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
ñîîòíîøåíèÿ (∗).
   Ëåììà. Åñëè (nk )  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ
÷èñåë ñòðåìÿùàÿñÿ ê +∞ (íå îáÿçàòåëüíî âîçðàñòàþùàÿ), òî
                               ³    1 ´nk
                            lim 1 +       =e
                           k→∞      nk

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îòìåòèì, ÷òî åñëè nk ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ
                                                                ¡     ¢n
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî íè÷åãî äîêàçûâàòü íå íàäî, òàê êàê òîãäà 1+ n1k k
                                 ¡     ¢n
 ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ 1 + n1        ñõîäÿùåéñÿ ê e è, çíà÷èò, ñàìà
ñõîäèòñÿ ê e.

Страницы