Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x = −y x → −∞ y → +∞
lim
x→−∞
³
1 +
1
x
´
x
= lim
y →+∞
³
1 −
1
y
´
−y
= lim
y →+ ∞
³
y −1
y
´
−y
=
= lim
y→ +∞
³
y
y −1
´
y
= lim
y →+∞
³
y −1 + 1
y −1
´
y
= lim
y →+ ∞
³
1 +
1
y −1
´
y −1+1
=
= lim
y →+ ∞
³
1 +
1
y −1
´
y − 1
³
1 +
1
y −1
´
= e.
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e.
y =
1
x
y → +0 x → +∞ y → −0
x → −∞
lim
y →+0
(1 + y)
1
y
= lim
y →−0
(1 + y)
1
y
= e.
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= log
a
e =
1
ln a
(a > 0, a 6= 1)
log
a
x
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
log
a
(1 + x)
1
x
= log
a
³
lim
x→0
(1 + x)
1
x
´
= log
a
e =
1
ln a
.
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a (a > 0, a 6= 1)
84                                                             Êëåâ÷èõèí Þ.À


   Äîêàæåì âòîðîå ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå. Äëÿ ýòîãî ñäåëàåì çàìåíó
ïåðåìåííîé ïî ôîðìóëå x = −y . Òîãäà ïðè x → −∞ áóäåì èìåòü y → +∞.
Ïîýòîìó
              ³   1 ´x         ³     1 ´−y        ³ y − 1 ´−y
         lim 1 +       = lim 1 −           = lim              =
        x→−∞      x      y→+∞        y       y→+∞     y
           ³ y ´y          ³ y − 1 + 1 ´y        ³       1  ´ y−1+1
   = lim           = lim                  = lim 1 +                 =
     y→+∞ y − 1      y→+∞      y−1          y→+∞       y−1
                       ³       1 ´y−1 ³       1 ´
                = lim 1 +                1+        = e.
                 y→+∞       y−1              y−1
Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Òåîðåìà. (Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë)
                                           1
                               lim (1 + x) x = e.
                               x→0

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â ðàâåíñòâàõ ïðåäûäóùåé òåîðåìû, äåëàÿ
çàìåíó ïåðåìåííîé y = x1 (òîãäà y → +0 ïðè x → +∞ è y → −0 ïðè
x → −∞), áóäåì èìåòü
                                   1                 1
                       lim (1 + y) y = lim (1 + y) y = e.
                      y→+0             y→−0

È â ñèëó ðàâåíñòâà îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ ñóùåñòâóåò ïðîñòîé ïðåäåë è
ðàâåí îáùåìó çíà÷åíèþ îäíîñòîðîííèõ.
   ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Ñëåäóþùèå òðè ñëåäñòâèÿ âòîðîãî çàìå÷àòåëüíîãî ïðåäåëà èíîãäà òîæå
ñ÷èòàþò çàìå÷àòåëüíûìè ïðåäåëàìè è èõ çíàíèå ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì
äëÿ êàæäîãî ìàòåìàòèêà.
     Ñëåäñòâèå 1.

                    loga (1 + x)             1
              lim                = loga e =         (a > 0, a 6= 1)
              x→0         x                 ln a
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ìû óæå äîêàçàëè íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
loga x, ïîýòîìó
     loga (1 + x)                    1
                                             ³            1
                                                            ´           1
  lim             = lim loga (1 + x) x = loga lim (1 + x) x = loga e =      .
 x→0       x        x→0                       x→0                      ln a
     Ñëåäñòâèå 2.

                          ax − 1
                      lim        = ln a (a > 0, a 6= 1)
                      x→0   x

Страницы