Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

f x
0
f(x
0
) 6= 0
U
δ
(x
0
) f
lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
) 6= 0 ⇒ ∃δ > 0 ∀x ∈ U
δ
(x
0
) ⇒ f(x)f(x
0
) > 0.
f g
x
0
x
0
f ± g
f · g
f
g
g(x
0
) 6= 0
C[a; b]
[a; b] B[a; b]
[a; b] f ∈ C[a; b] f ∈ B[a; b]
f
[a; b] f [a; b]
[a; b]
f ∈ C[a; b] ⇒ f ∈ B[a; b].
e f [a; b]
∀C ∃x : x ∈ [a; b] ∧ |f(x)| > C.
C = n x
n
∈ [a; b]
|f(x
n
)| > n (x
n
)
86                                                           Êëåâ÷èõèí Þ.À


   Òåîðåìà 2. Åñëè f íåïðåðûâíà â x0 è f (x0 ) 6= 0, òî ñóùåñòâóåò
îêðåñòíîñòü Uδ (x0 ), â êîòîðîé f ñîõðàíÿåò çíàê.

      lim f (x) = f (x0 ) 6= 0 ⇒ ∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ (x0 ) ⇒ f (x)f (x0 ) > 0.
      x→x0

    Ýòà òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ñîîòâåòñòâóþùåé
òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Òåì íå ìåíåå, â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿ
ïðîâåñòè ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ.
    Òåîðåìà 3 (àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà). Åñëè f è g íåïðåðûâíû â òî÷êå
x0 , òî íåïðåðûâíû â x0 ôóíêöèè :
    1) f ± g ;
    2) f · g ;
       f
    3) , ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè g(x0 ) 6= 0.
       g
    Ýòà òåîðåìà òîæå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû îá
àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïðåäåëîâ ôóíêöèè.  êà÷åñòâå ñàìîñòîÿòåëü-
íîé ðàáîòû ðåêîìåíäóåòñÿ íàïèñàòü ïîëíûå äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ñâîéñòâ
äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ.


Ëåêöèÿ 14.
Ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
Çäåñü ìû èçó÷èì ñâîéñòâà, êîòîðûìè îáëàäàþò íåïðåðûâíûå ôóíêöèè,
ðàññìàòðèâàåìûå êàê åäèíîå öåëîå. Íàïîìíèì, ÷òî C[a; b]  ìíîæåñòâî
âñåõ íåïðåðûâíûõ íà [a; b] ôóíêöèé, à B[a; b]  ìíîæåñòâî âñåõ îãðàíè-
÷åííûõ íà [a; b] ôóíêöèé. À çàïèñü f ∈ C[a; b] (ñîîòâ. f ∈ B[a; b]) ìîæíî
ñ÷èòàòü ïðîñòî ñîêðàùåíèåì ñëîâ: ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå
îòðåçêà [a; b] (ñîîòâ. ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå [a; b]).
   Òåîðåìà (1-ÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà) Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà çà-
ìêíóòîì ïðîìåæóòêå [a; b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà ýòîì îòðåçêå :

                         f ∈ C[a; b] ⇒ f ∈ B[a; b].

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.  e
                                 Ïóñòü f íåîãðàíè÷åíà íà [a; b]. Òîãäà
âûïîëíåíî óñëîâèå (îòðèöàíèå óñëîâèÿ îãðàíè÷åííîñòè):

                       ∀C ∃x : x ∈ [a; b] ∧ |f (x)| > C.

   Áåðÿ ïîñëåäîâàòåëüíî C = n áóäåì íàõîäèòü òàêèå xn ∈ [a; b], â êî-
òîðûõ |f (xn )| > n. Èç ïîëó÷åííîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn )

Страницы