Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε > 0
x
ε
∈ [a; b] m 6 f(x
ε
) < m + ε
ε =
1
n
x
n
∈
[a; b] m 6 f(x
n
) < m +
1
n
f(x
n
) m
(x
n
k
)
x ∈ [a; b]
f
lim
k→∞
f(x
n
k
) = f(x)
¡
f(x
n
k
)
¢
¡
f(x
n
)
¢
m
f(x) = m
f
[a; b]
x
0
∈ (a; b) f(x
0
) = 0
f ∈ C[a; b] f(a) · f(b) < 0 ⇒ ∃x
0
∈ (a; b) : f(x
0
) = 0.
f(a) < 0 f(b) > 0
[a; b] c =
a+b
2
f(c) = 0 f(c) 6= 0
[a
1
; b
1
] f(a
1
) < 0 f(b
1
) > 0
[a
1
; b
1
]
c
1
=
a
1
+b
1
2
f(c
1
) 6= 0 [a
2
; b
2
]
f(a
2
) < 0 f(b
2
) > 0
c
n
f(c
n
) = 0
[a
n
; b
n
] b
n
− a
n
=
b−a
2
n
→ 0
x
0
∈
∞
T
n=1
[a
n
; b
n
] a
n
↑ x
0
b
n
↓ x
0
f
lim
n→∞
f(a
n
) = f(x
0
) = lim
n→∞
f(b
n
).
n f(a
n
) < 0 f(x
0
) 6 0
n f(b
n
) > 0 f(x
0
) > 0 f(x
0
) = 0
88                                                                 Êëåâ÷èõèí Þ.À


     Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé íèæíåé ãðàíè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå
÷èñëî xε ∈ [a; b], ÷òî m 6 f (xε ) < m + ε.
     Âûáèðàÿ ïîî÷åðåäíî ε = n1 ïîñòðîèì òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈
[a; b], ÷òî m 6 f (xn ) < m + n1 . Î÷åâèäíî, f (xn ) ñõîäèòñÿ ê m. Ïî òåî-
ðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà èìååòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xnk ), ñõî-
äÿùàÿñÿ ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó x ∈ [a; b] (ñì. çàìå÷àíèå ê 1-îé òåîðåìå
Âåéåðøòðàññà). Òåïåðü, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè¡      ¢ôóíêöèè f èìååì, ñ îäíîé
ñòîðîíû lim f (xnk ) = f (x), à ñ äðóãîé, f (xnk )  ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü
           k→∞                      ¡     ¢
ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè f (xn ) , à çíà÷èò, èìååò òîò æå ïðåäåë m,
òî åñòü f (x) = m. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà âàæíà äëÿ ïðèëîæåíèé ìàòåìàòèêè, ïîñêîëüêó äà-
åò ëåãêî ðåàëèçóåìûé àëãîðèòì (ïðèáëèæåííîãî) ðåøåíèÿ óðàâíåíèé.
   Òåîðåìà (Î. Êîøè î íóëÿõ) Åñëè f íåïðåðûâíà íà çàìêíóòîì ïðî-
ìåæóòêå [a; b] è ïðèíèìàåò íà êîíöàõ çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ, òî ñóùå-
ñòâóåò òî÷êà x0 ∈ (a; b), â êîòîðîé f (x0 ) = 0:

           f ∈ C[a; b]   è   f (a) · f (b) < 0 ⇒ ∃x0 ∈ (a; b) : f (x0 ) = 0.

    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî
f (a) < 0, f (b) > 0. Äðóãîé ñëó÷àé äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
    Ïðèìåíèì ìåòîä äèõîòîì         èè. Ðàçäåëèì îòðåçîê [a; b] òî÷êîé c = a+b    2
ïîïîëàì. Åñëè f (c) = 0, òî âñå äîêàçàíî. Åñëè f (c) 6= 0, òî èç äâóõ ïîëîâè-
íîê îáîçíà÷èì ÷åðåç [a1 ; b1 ] òó èç íèõ, äëÿ êîòîðîé f (a1 ) < 0 è f (b1 ) > 0.
Ñ ïîëó÷åííûì îòðåçêîì [a1 ; b1 ] ïîñòóïèì òàê æå: äåëèì ïîïîëàì òî÷êîé
c1 = a1 +b
        2
          1
             è (åñëè f (c1 ) 6= 0) îáîçíà÷àåì ÷åðåç [a2 ; b2 ] òó èç ïîëîâèíîê, äëÿ
êîòîðîé f (a2 ) < 0, f (b2 ) > 0.
     ðåçóëüòàòå òàêîé ïðîöåäóðû ëèáî ìû ÷åðåç êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ïî-
ïàäåì â òî÷êó cn , â êîòîðîé f (cn ) = 0 (è òåîðåìà äîêàçàíà), ëèáî ïîñòðî-
èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ îòðåçêîâ [an ; bn ], ó êîòîðûõ bn − an =
b−a
 2n → 0. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó âëîæåííûõ îòðåçêîâ â ýòîì ñëó÷àå èìååòñÿ
                                  T
                                  ∞
(åäèíñòâåííàÿ) òî÷êà x0 ∈            [an ; bn ] è an ↑ x0 (ò.å. ìîíîòîííî âîçðàñòàÿ),
                               n=1
bn ↓ x0 (ò.å. ìîíîòîííî óáûâàÿ).
   Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè f èìååì

                         lim f (an ) = f (x0 ) = lim f (bn ).
                         n→∞                     n→∞

Íî ïðè âñåõ n èìååì f (an ) < 0, çíà÷èò, f (x0 ) 6 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
ïðè âñåõ n èìååì f (bn ) > 0, çíà÷èò, f (x0 ) > 0. Ïîýòîìó f (x0 ) = 0, ÷òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Страницы