Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

e f(x) = y f(x
0
) = y x < x
0
f(x) < f(x
0
)
g
g e y
1
< y
2
x
1
= g(y
1
) >
g(y
2
) = x
1
f(x
1
) = y
1
f(x
2
) = y
2
f x
1
> x
2
y
1
> y
2
g e
g [A; B]
y
0
g(y
0
− 0) 6= g(y
0
)
g(y
0
− 0) = lim
y →y
0
−0
g(y) sup
y ∈[A;y
0
)
g(y) = g(y
0
− 0) < g(y
0
)
y < y
0
g(y) 6 g(y
0
− 0) < g(y
0
)
x ∈
¡
g(y
0
− 0); g(y
0
)
¢
= (g(y
0
− 0); x
0
) y < y
0
g(y) = x > g(y
0
−0) = sup
y ∈[ A;y
0
)
g(y)
[a; b]
y = e
x
x = ln y y = a
x
y = arcsin x
£
−
π
2
;
π
2
¤
x = sin y
y = arccos x
[0; π] x = cos y
(x
n
) (y
n
)
x
n
∼ y
n
Ëåêöèÿ 15                                                                    91


     e   Ïóñòü f (x) = y è f (x0 ) = y . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x < x0 , íî
     òîãäà â ñèëó ñòðîãî âîçðàñòàíèÿ f (x) < f (x0 )?!

è ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèè g äîêàçàíî.
     Øàã 2. Äîêàæåì ìîíîòîííîñòü g .      e       Ïóñòü y1 < y2 è x1 = g(y1 ) >
g(y2 ) = x1 . Íî òîãäà f (x1 ) = y1 è f (x2 ) = y2 è â ñèëó ñòðîãîãî âîçðàñòàíèÿ
f , òàê êàê x1 > x2 äîëæíû èìåòü y1 > y2 ?!
     Øàã 3. Äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü g .       e       Â ñèëó äîêàçàííîé ìîíîòîí-
íîñòè g îíà èìååò â êàæäîé òî÷êå èç [A; B] êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðå-
äåëû, çíà÷èò, íå ìîæåò èìåòü ðàçðûâîâ 2-ãî ðîäà. Ïóñòü â òî÷êå y0 ðàç-
ðûâ 1-ãî ðîäà è, ñêàæåì, g(y0 − 0) 6= g(y0 ) (íàïîìíèì, ÷òî ïî îïðåäåëå-
íèþ g(y0 − 0) = lim g(y)). Òîãäà sup g(y) = g(y0 − 0) < g(y0 ), çíà-
                  y→y0 −0              y∈[A;y0 )
÷èò, ¡äëÿ ëþáîãî y ¢< y0 áóäåì èìåòü g(y) 6 g(y0 − 0) < g(y0 ). Íî äëÿ
x ∈ g(y0 − 0); g(y0 ) = (g(y0 − 0); x0 ) äîëæíî ñóùåñòâîâàòü ÷èñëî y < y0 ,
äëÿ êîòîðîãî g(y) = x > g(y0 −0) = sup g(y)?! Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå
                                     y∈[A;y0 )
äîêàçûâàåò íåâåðíîñòü ïðåäïîëîæåíèÿ.
    Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
    Çàìå÷àíèå. Î÷åâèäíî, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà ñïðàâåäëèâà è äëÿ ñòðîãî
óáûâàþùåé íåïðåðûâíîé íà [a; b] ôóíêöèè. Òî÷íàÿ ôîðìóëèðîâêà è äîêà-
çàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îñòàåòñÿ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿ-
òåëüíîé ðàáîòû.
    Ñëåäñòâèå. Ñëåäóþùèå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâ-
íûìè ïî äîêàçàííîé òåîðåìå:
    1) y = ex  êàê îáðàòíàÿ ê ñòðîãî âîçðàñòàþùåé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
x = ln y (èëè, áîëåå îáùî, y = ax ).
£ π2) πy¤ = arcsin x  êàê îáðàòíàÿ ê ñòðîãî âîçðàñòàþùåé íà ïðîìåæóòêå
 − 2 ; 2 ôóíêöèè x = sin y .
    3) y = arccos x  êàê îáðàòíàÿ ê ñòðîãî óáûâàþùåé íà ïðîìåæóòêå
[0; π] ôóíêöèè x = cos y .


Ëåêöèÿ 15
Î-ñèìâîëèêà
Çäåñü ìû ïðèâîäèì òåðìèíîëîãèþ, ñâÿçàííóþ ñ ïðåäåëàìè è î÷åíü ÷àñòî
èñïîëüçóåìóþ íå òîëüêî â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå, à ïîòîìó çíàòü åå äîë-
æåí êàæäûé îáðàçîâàííûé ìàòåìàòèê.
   Îïðåäåëåíèå. Äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xn ) è (yn ) íàçûâàþò ýêâèâà-
ëåíòíûìè è ïèøóò xn ∼ yn , åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

Страницы