Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x sin
1
x
= O(x) x → 0
¯
¯
¯
x sin
1
x
x
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
sin
1
x
¯
¯
¯
< 1.
x → 0
(x
n
)
y
n
n
x
n
= o(y
n
) n → ∞,
α
n
n x
n
=
α
n
y
n
α
n
−−−−→
n→∞
0
f(x) g(x) x x
0
f(x) = o
¡
g(x)
¢
x → x
0
◦
U
δ
(x
0
) α(x)
f(x) = α(x)g(x) α(x) −−−−→
x→x
0
0.
g(x) 6= 0
x
0
f(x) = o
¡
g(x)
¢
x → x
0
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= 0.
x
n
= o(1) n → ∞
lim
n→∞
x
n
= 0
f(x) = o(1) x → x
0
lim
x→x
0
f(x) = 0
(x
n
) f(x)
n → ∞ x → x
0
x
n
= o(1)
n → ∞ f(x) = o(1) x → x
0
94                                                          Êëåâ÷èõèí Þ.À


     2) Ìîæíî íàïèñàòü x sin x1 = O(x) ïðè x → 0, òàê êàê
                            ¯ x sin 1 ¯ ¯     1 ¯¯
                            ¯       x¯    ¯
                            ¯         ¯ = ¯sin ¯ < 1.
                                 x            x
(Õîòÿ ïðåäåëà îòíîøåíèÿ ïðè x → 0 íå ñóùåñòâóåò)
   Ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ íàèáîëåå óïîòðåáèìû èç âñåé î-ñèìâîëèêè:
   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) åñòü î-ìàëîå îò
yn ïðè n ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè è ïèøóò:

                           xn = o(yn ) ïðè n → ∞,

êîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü αn , ÷òî ïðè âñåõ n èìååì xn =
αn yn è αn −−−−→ 0.
             n→∞
     Àíàëîãè÷íî äëÿ ôóíêöèé:
     Ãîâîðÿò, ÷òî f (x) åñòü î-ìàëîå îò g(x) ïðè x ñòðåìÿùåìñÿ ê x0  è ïèøóò
                                    ¡    ¢
                           f (x) = o g(x) ïðè x → x0
                                                        ◦
êîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü U δ (x0 ) è ôóíêöèÿ α(x),
îïðåäåëåííàÿ â ýòîé îêðåñòíîñòè, ÷òî

                      f (x) = α(x)g(x) è α(x) −−−−→ 0.
                                                   x→x0

   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ.
   Òåîðåìà. Åñëè ôóíêöèÿ g(x)¡     ¢ 0 â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñò-
                                  6=
íîñòè òî÷êè x0 , òî f (x) = o g(x) ïðè x → x0 òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
                                 f (x)
                             lim       = 0.
                            x→x0 g(x)

   Ôîðìóëèðîâêà ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðåìû äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îñòà-
åòñÿ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
   Ïðèìåðû. Çàïèñü xn = o(1) ïðè n → ∞, êàê ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî
èç îïðåäåëåíèÿ â òî÷íîñòè îçíà÷àåò, ÷òî lim xn = 0.
                                             n→∞
   Àíàëîãè÷íî, f (x) = o(1) ïðè x → x0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
lim f (x) = 0.
x→x0
   Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) (ñîîòâ. ôóíêöèþ f (x)) íàçû-
âàþò áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè n → ∞ (ñîîòâ. ïðè x → x0 ), åñëè xn = o(1)
ïðè n → ∞ (ñîîòâ. f (x) = o(1) ïðè x → x0 ).

Страницы