Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

X
x
0
∈ X
∀x
0
∈ X ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x
00
∈ X : |x
0
− x
00
| < δ ⇒ |f(x
0
) − f(x
00
)| < ε.
δ x
0
δ = δ(x
0
)
x
0
x
00
X
X
X
1
⊂ X
X
X
∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
0
, x
00
∈ X : |x
0
− x
00
| < δ ∧|f(x
0
) − f(x
00
)| > ε.
1
x
(0, 1)
ε = 1 δ > 0 x
0
=
1
n
x
00
=
1
2n
n
1
2n
< δ
|x
0
− x
00
| =
1
n
−
1
2n
=
1
2n
< δ
¯
¯
¯
1
x
0
−
1
x
00
¯
¯
¯
= n > 1.
x → 0
x
0
, x
00
x
0
x x
0
x
00
Ëåêöèÿ 16                                                                          103


   Ãîâîðÿ îáðàçíî, ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî äâà çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ìîæ-
íî ñäåëàòü îòëè÷àþùèìèñÿ ïðîèçâîëüíî ìàëî, êîãäà çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà
äîñòàòî÷íî áëèçêè äðóã ê äðóãó íåçàâèñèìî îò èõ ïîëîæåíèÿ íà X .
   Âûïèøåì ïîëíîå îïðåäåëåíèå ïðîñòîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â êàæ-
äîé òî÷êå x0 ∈ X , ÷òîáû ñðàâíèòü åãî ñ îïðåäåëåíèåì ðàâíîìåðíîé íåïðå-
ðûâíîñòè1 :

    ∀x0 ∈ X ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x00 ∈ X : |x0 − x00 | < δ ⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| < ε.

   Ôîðìàëüíî ìû ïåðåñòàâèëè íà ïåðâîå ìåñòî òîëüêî îäèí êâàíòîð! Íî
ñìûñë îò ýòîãî èçìåíèëñÿ ñèëüíî. Â îïðåäåëåíèè ïðîñòîé íåïðåðûâíîñòè
â êàæäîé òî÷êå âûáîð δ çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè x0 (ò.å. δ = δ(x0 )), à
äëÿ ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ýòîò âûáîð íàäî óìåòü äåëàòü
íåçàâèñèìî îò ïîëîæåíèÿ x0 , x00 íà ìíîæåñòâå X , ëèøü áû îíè áûëè äî-
ñòàòî÷íî áëèçêè äðóã ê äðóãó.
   Îòìåòèì î÷åâèäíûå ñëåäñòâèÿ îïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíî-
ñòè.
   1. Åñëè ôóíêöèÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå X , òî îíà îñòà-
íåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà âñÿêîì åãî ïîäìíîæåñòâå X1 ⊂ X .
   2. Âñÿêàÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíàÿ íà X ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâ-
íîé â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà X . Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå
íåâåðíî. Ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íå ÿâëÿþùèåñÿ ðàâíîìåðíî
íåïðåðûâíûìè. Ïðèìåðû ìû ïðèâåäåì íèæå, à ñåé÷àñ îòìåòèì, ÷òî äëÿ äî-
êàçàòåëüñòâà íåðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè (ò.å. îòñóòñòâèÿ ðàâíîìåðíîé
íåïðåðûâíîñòè) íàäî äîêàçûâàòü, ÷òî íå âûïîëíåíî óñëîâèå ðàâíîìåðíîé
íåïðåðûâíîñòè, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ åãî îòðèöàíèå:

       ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x0 , x00 ∈ X : |x0 − x00 | < δ ∧ |f (x0 ) − f (x00 )| > ε.

   Ïðèìåð    1. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ x1 íà (0, 1). Î÷åâèäíî, îíà íåïðåðûâíà
íà ýòîì èíòåðâàëå. Äîêàæåì, ÷òî îíà íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâ-
íîé: äëÿ ε = 1 è ëþáîãî δ > 0 âûáåðåì x0 = n1 , x00 = 2n 1
                                                           , ãäå n òàêîâî, ÷òî
 1
2n < δ , òîãäà

                         1  1    1           ¯1      1 ¯¯
                                             ¯
            |x0 − x00 | = −   =    < δ è ¯ 0 − 00 ¯ = n > 1.
                         n 2n   2n             x    x
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   ×òîáû áûñòðî íàõîäèòü òàêèå ðåøåíèÿ, íàäî õîðîøî ïðåäñòàâëÿòü ñè-
òóàöèþ. Â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ïðè x → 0 ôóíêöèÿ áûñòðî âîçðàñòàåò,
ïîýòîìó ìû è âûáðàëè òî÷êè x0 , x00 âáëèçè íóëÿ.
  1 Äëÿ óäîáñòâà ñðàâíåíèÿ ìû ïèøåì âìåñòî x è x ñîîòâåòñòâåííî x0 è x00
                                            0

Страницы