Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

lim
n→∞
x
n
lim
x→x
0
f(x)
lim
x→∞
f(x)
lim
x→x
0
±0
f(x)
lim
X F
X
∅ /∈ F F 6= ∅
∀A, B A ⊃ B B ∈ F ⇒ A ∈ F
∀A, B ∈ F ⇒ A ∩ B ∈ F
X F =
{X} F X
U(x
0
) X A ⊂
X U(x
0
) A
x
0
A ∈ U(x
0
)
def
⇔ A 3 x
0
.
A U(x
0
) x
0
U(x
0
)
x
0
U(x
0
)
{x
0
}
x
0
B ∈ U(x
0
) B x
0
A ⊃ B U(x
0
)
106                                                                Êëåâ÷èõèí Þ.À


      Äî ñèõ ïîð ìû âñòðåòèëèñü ñ íåñêîëüêèìè îïðåäåëåíèÿìè ïðåäåëîâ:
      1) Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè lim xn ;
                                       n→∞
      2) Ïðåäåë ôóíêöèè lim f (x);
                          x→x0
      3) Ïðåäåë ôóíêöèè lim f (x);
                          x→∞
      4) Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ôóíêöèè           lim      f (x).
                                                x→x0 ±0
     5) Â ñëåäóþùåì ñåìåñòðå ìû âñòðåòèìñÿ åùå ñ ïðåäåëàìè èíòåãðàëü-
íûõ ñóìì ïðè ìåëêîñòè ðàçáèåíèÿ ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ.
     Âñå îíè èìåþò íå÷òî îáùåå è ïðèòîì áîëüøå, ÷åì çíà÷îê lim â îáîçíà-
÷åíèÿõ. Êàê âûÿâèëè èññëåäîâàíèÿ 1920-1950 ãîäîâ ýòî îáùåå ñîáðàíî â
(íå î÷åíü ïðîñòîì) ïîíÿòèè ôèëüòðà. 1
     Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü X ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Êëàññ F
ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X íàçûâàþò ôèëüòðîì, åñëè îí îáëàäàåò ñâîé-
ñòâàìè:
     à) ∅ ∈
          / F è F 6= ∅;
     á) ∀A, B A ⊃ B è B ∈ F ⇒ A ∈ F;
     â) ∀A, B ∈ F ⇒ A ∩ B ∈ F.
     Ïðèìåðû. 1. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íåïóñòîãî ìíîæåñòâà X ïîëîæèì F =
{X}, ò.å. F ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà  âñåãî ìíîæåñòâà X . Î÷åâèäíî, âñå
òðè ñâîéñòâà îïðåäåëåíèÿ äëÿ íåãî âûïîëíÿþòñÿ. Ýòîò ôèëüòð íàçûâàåòñÿ
òðèâèàëüíûì.
     2. Îïðåäåëèì êëàññ ïîäìíîæåñòâ U(x0 ) â X , ñ÷èòàÿ ïîäìíîæåñòâî A ⊂
X ïðèíàäëåæàùèì U(x0 ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ñîäåðæèò òî÷êó
x0 :
                                          def
                              A ∈ U(x0 ) ⇔ A 3 x0 .

Ïðîâåðèì, ÷òî âûïîëíåíû âñå òðè óñëîâèÿ îïðåäåëåíèÿ ôèëüòðà.
   à) Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî A èç U(x0 ) îáÿçàíî ñîäåðæàòü òî÷êó x0 , çíà÷èò,
íåïóñòî, ïîýòîìó ïóñòîå ìíîæåñòâî íå ïðèíàäëåæèò U(x0 ), òàê êàê îíî íå
ñîäåðæèò òî÷êè x0 . Ñàìî ìíîæåñòâî U(x0 ) íå ïóñòî, òàê êàê ñîäåðæèò
ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ýëåìåíò {x0 }  ïîäìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîé
òî÷êè x0 .
   á) Åñëè B ∈ U(x0 ), òî ìíîæåñòâî B ñîäåðæèò òî÷êó x0 , íî òîãäà ýòó
òî÷êó ñîäåðæèò è ëþáîå ìíîæåñòâî A ⊃ B , çíà÷èò, ïðèíàäëåæèò U(x0 ) ïî
îïðåäåëåíèþ.
   1 Êàê óòâåðæäàåòñÿ â ó÷åáíèêå [4], ïåðâûì, êòî ââåë è èçó÷èë ïîäîáíîå ïîíÿòèå, áûë
îäåññêèé ìàòåìàòèê Ä.À. Êðûæàíîâñêèé â 1924 ãîäó, íî â îáùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ïðàê-
òèêó ïîíÿòèå ôèëüòðà âîøëî áëàãîäàðÿ òðóäàì êîëëåêòèâà ôðàíöóçñêèõ ìàòåìàòèêîâ
ïîä îáùèì ïñåâäîíèìîì Í. Áóðáàêè è îñîáåííî îäíîãî èç åãî ÷ëåíîâ  À. Êàðòàíà.

Страницы