Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

B F
F
B 6= ∅ ∅ /∈ B
∀A ∈ F ∃B ∈ B B ⊂ A
F N n =
[n, ∞) = {n, n + 1, n + 2, . . .}
B = {n : n ∈ N} B
B
A ∈ F n
[n+1, ∞) A
F(x
0
) x
0
B
1
= {U
δ
(x
0
) :
δ > 0} B
1
x
0
B
2
δ
δ =
1
n
B
2
= {U
1
n
(x
0
) : n ∈ N},
B
2
x
0
A ∈ F(x
0
) δ > 0 U
δ
(x
0
) ⊂ A
δ n
1
n
< δ U
1
n
(x
0
) ⊂ A
(x → x
0
) x
0
{
◦
U
δ
(x
0
) : δ > 0} δ
X B
B X
B 6= ∅ ∅ /∈ B
∀A, B ∈ B ∃C ∈ B C ⊂ A ∩ B
B X
108                                                      Êëåâ÷èõèí Þ.À


    Îïðåäåëåíèå. Ïîäìíîæåñòâî B ôèëüòðà F íàçûâàåòñÿ áàçèñîì ôèëü-
òðà F (èëè, â äðóãîé òåðìèíîëîãèè, áàçîé ), åñëè îíî îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:
    à) B 6= ∅, ∅ ∈
                 / B;
    á) ∀A ∈ F ∃B ∈ B: B ⊂ A.
    Êàê ìû óâèäèì, çíàíèå òîëüêî áàçèñà ôèëüòðà ïîçâîëÿåò ëåãêî âîññòà-
íîâèòü ñàì ôèëüòð.
    Ïðèìåðû. 1. Âñÿêèé ôèëüòð ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì äëÿ ñàìîãî ñåáÿ.
    2. Ïóñòü F  ôèëüòð Ôðåøå â ìíîæåñòâå N. Îáîçíà÷èì ÷åðåç n =
[n, ∞) = {n, n + 1, n + 2, . . .}  îòðåçîê ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ïîëîæèì B = {n : n ∈ N}, òî åñòü B  ýòî ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ
îòðåçêîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïîêàæåì, ÷òî B  áàçèñ ôèëüòðà Ôðåøå.
    Åñëè A ∈ F, òî îáîçíà÷èì ÷åðåç n ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò åãî äîïîëíå-
íèÿ. Îí ñóùåñòâóåò, òàê êàê ýòî äîïîëíåíèå ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Î÷åâèäíî, òîãäà ìíîæåñòâî [n + 1, ∞) ñîäåðæèòñÿ â A.
    Îñòàëüíûå ñâîéñòâà î÷åâèäíû.
    3. Ïóñòü F(x0 ) ôèëüòð îêðåñòíîñòåé òî÷êè x0 . Ïîëîæèì B1 = {Uδ (x0 ) :
δ > 0}. Î÷åâèäíî, B1 áàçèñ ôèëüòðà îêðåñòíîñòåé òî÷êè x0 . Áîëåå òîãî,
åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç B2 ìíîæåñòâî òîëüêî òåõ δ -îêðåñòíîñòåé, ó êîòîðûõ
δ = n1 , òî åñòü
                          B2 = {U n1 (x0 ) : n ∈ N},
òî B2 òîæå áóäåò áàçèñîì ôèëüòðà îêðåñòíîñòåé òî÷êè x0 . Âûïîëíåíèå
ñâîéñòâà à) îïðåäåëåíèÿ áàçèñà î÷åâèäíî, à ñâîéñòâî á) ñëåäóåò èç òîãî,
÷òî åñëè A ∈ F(x0 ), òî íàéäåòñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî Uδ (x0 ) ⊂ A, à äëÿ ýòîãî
δ íàéäåòñÿ òàêîå n, ÷òî n1 < δ , çíà÷èò, U n1 (x0 ) ⊂ A. ×òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
   Ìû âèäèì, ÷òî ó ïðîèçâîëüíîãî ôèëüòðà èìååòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîãî
ðàçëè÷íûõ áàçèñîâ (èíà÷å òî æå ñàìîå ìîæíî ñêàçàòü òàê: âûáîð áàçèñà ó
ôèëüòðà íåîäíîçíà÷åí).
   4. Ó ôèëüòðà (x → x0 ) ïðîêîëîòûõ îêðåñòíîñòåé òî÷êè x0 òîæå åñòü
                                 ◦
î÷åâèäíûé áàçèñ  ìíîæåñòâî {U δ (x0 ) : δ > 0} âñåõ ïðîêîëîòûõ δ -îêðåñò-
íîñòåé.
   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò ñïîñîá âîññòàíîâëåíèÿ ôèëüòðà ïî åãî áàçèñó.
   Òåîðåìà. Ïóñòü X  íåïóñòîå ìíîæåñòâî è B íåêîòîðûé êëàññ
åãî ïîäìíîæåñòâ. Òîãäà B ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì íåêîòîðîãî ôèëüòðà â X
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
   a) B 6= ∅ è ∅ ∈
                 / B;
   á) ∀A, B ∈ B ∃C ∈ B C ⊂ A ∩ B .
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â äîêàçàòåëüñòâå íóæäàåòñÿ òîëüêî äîñòà-
òî÷íîñòü. Ïóñòü B  êëàññ ïîäìíîæåñòâ èç X , îáëàäàþùèé ñâîéñòâàìè

Страницы