Нелинейные эффекты в оптоволоконных системах. Клюев В.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
P = Nqx. (1.10)
В приближении первого порядка из линеаризованного уравнения
(1.7) получаем
.с.к)(x)(xx
2
)1(
1
)1()1(
+ω+ω= ,
,e
i(
E)m/q(
x
ti
i
2
i
2
0
i
)1(
i
ω−
ω−ω−ω
= (1.11)
где «к. с.» обозначает комплексно сопряженное выражение.
Приближение второго порядка получается при подстановке в
(1.7) вместо ах
2
выражения а[x
(1)
]
2
:
.с.к)0(x
)2(x)(x)(x)(xx
)2(
2
)2(
1
)2(
21
)2(
21
)2()2(
++
+ω+ω+ω−ω+ω+ω=
(1.12)
С помощью последовательных итераций можно найти поправки
высших порядков. Как видно из приближения второго порядка, благодаря
квадратичному закону взаимодействия осциллятора с полем, связанному с
наличием ангармонического слагаемого, возникают новые компоненты
поляризации на частотах ω
± ω
2
, 2ω
1
и 2ω
2
. Эти осциллирующие компонен-
ты поляризации будут генерировать новые электромагнитные волны на
частотах ω
±ω
2
, 2ω
1
и 2ω
2
. Таким образом, получают простое объяснение
процессы генерации суммарной и разностной частот и второй гармоники.
В общем случае в приближениях более высокого порядка можно ожидать
появления частотных компонент ω = n
1
ω
1
± n
2
ω
2
, где n
1
и n
2
— целые чис-
ла. В рассмотренной модели величина ангармонизма определяет силу не-
линейного взаимодействия. Предположение о малости члена ах
2
в прове-
денных расчетах равносильно предположению о том, что поле Е мало, так
что поляризацию Р можно разложить в ряд по степеням поля Е. Можно
дать грубую оценку того, как должна уменьшаться по величине нелиней-
ная поляризация с увеличением порядка нелинейности. В нерезонанс-
ном случае, когда ω
0
>>ω
1
и ω
0
>>ω
2
, согласно (1.11) и (1.12) получаем
.m/qaE~P/P
4
0
)1()2(
ω (1.13)
В случае электрона, связанного с ионным остовом, когда смещение
х настолько велико, что члены, соответствующие гармоническому взаи-
модействию mω
0
2
x и ангармоническому взаимодействию max
2
, оказы-
ваются одного порядка величины, оба эти члена будут порядка полной
силы |qE
ат
|, удерживающей электрон:
,max~xm~qE
22
0ат
ω
или .)a/m(~qE
4
0ат
ω (1.14)
Соотношение (1.13) в этом случае переходит в соотношение
.E/E~P/P
ат
)1()2(
                                                P = Nqx.                                     (1.10)
       В приближении первого порядка из линеаризованного уравнения
(1.7) получаем
                                  x (1) = x (1) (ω1 ) + x (1) (ω 2 ) + к.с. ,
                                                       (q / m ) E i
                                        x (1) = 2                    e − iω t ,
                                                                      i
                                                                                             (1.11)
                                                   ( ω 0 − ωi − i ωi
                                                             2

где «к. с.» обозначает комплексно сопряженное выражение.
       Приближение второго порядка получается при подстановке в
(1.7) вместо ах2 выражения а[x(1)]2:
             x ( 2) = x ( 2) (ω1 + ω2 ) + x ( 2) (ω1 − ω2 ) + x ( 2) (ω1 ) + x ( 2) (2ω2 ) +
                                                                                              (1.12)
            + x (0) + к.с.
                   (2)

       С помощью последовательных итераций можно найти поправки
высших порядков. Как видно из приближения второго порядка, благодаря
квадратичному закону взаимодействия осциллятора с полем, связанному с
наличием ангармонического слагаемого, возникают новые компоненты
поляризации на частотах ω± ω2, 2ω1 и 2ω2. Эти осциллирующие компонен-
ты поляризации будут генерировать новые электромагнитные волны на
частотах ω±ω2, 2ω1 и 2ω2. Таким образом, получают простое объяснение
процессы генерации суммарной и разностной частот и второй гармоники.
В общем случае в приближениях более высокого порядка можно ожидать
появления частотных компонент ω = n1ω1 ± n2ω2, где n1 и n2 — целые чис-
ла. В рассмотренной модели величина ангармонизма определяет силу не-
линейного взаимодействия. Предположение о малости члена ах2 в прове-
денных расчетах равносильно предположению о том, что поле Е мало, так
что поляризацию Р можно разложить в ряд по степеням поля Е. Можно
дать грубую оценку того, как должна уменьшаться по величине нелиней-
ная поляризация с увеличением порядка нелинейности. В нерезонанс-
ном случае, когда ω0>>ω1 и ω0>>ω2, согласно (1.11) и (1.12) получаем
                                      P ( 2 ) / P (1) ~ qaE / mω40 .                         (1.13)
      В случае электрона, связанного с ионным остовом, когда смещение
 х настолько велико, что члены, соответствующие гармоническому взаи-
 модействию mω02x и ангармоническому взаимодействию max2, оказы-
 ваются одного порядка величины, оба эти члена будут порядка полной
                  силы |qEат|, удерживающей электрон:
                               qE ат ~ mω02 x ~ max 2 ,
     или                           qE ат ~ (m / a )ω04 .                                   (1.14)
      Соотношение (1.13) в этом случае переходит в соотношение
                              P ( 2) / P (1) ~ E / E ат .
                                                15

Страницы