Нелинейные эффекты в оптоволоконных системах. Клюев В.Г. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

34
Совместное действие нелинейности и дисперсии среды; шредин-
геровские солитоны
Самовоздействие световых импульсов в нелинейной среде, сопрово-
ждаемое уширением, может привести к необходимости учета дисперсии
среды во втором и более высоком приближениях линейной теории диспер-
сии. Эта наиболее реальная и часто теперь встречающаяся на практике си-
туация при работе с длительностями 10
-13
—10
-14
с. Самовоздействие им-
пульсов будем описывать уравнением (в бегущих координатах)
,0AAi
A
k
2
1
i
z
A
2
1
2
2
2
=β+
η∂
∂
−
∂
∂
(3.5)
которое часто называют нелинейным уравнением Шредингера.
Здесь
020
2
00
)3(
1
n2/nkn2/k3 =πχ=β - нелинейный коэффициент,
u
/
z
t
−
=
η
(бегущая система координат). Параметр k
2
характеризует дис-
персию групповой скорости в первом приближении
0
0
0
2
2
2
3
0
22
2
2
n
c2
u
u
1k
k
λ
ω
ω
λ∂
∂
π
λ
=
ω∂
∂
−=
ω∂
∂
=
и учитывает линейную дисперсию среды во втором приближении.
Особый интерес представляет режим самосжатия. Стационарную
форму импульса можно найти, полагая в (3.14) А =ρ
c
(η)е
-iГz
. Для амплиту-
ды получим .0k2/1
3
c1cc2
=ρβ−ρΓ+ρ
&&
Это уравнение преобразуется к виду .0k2/1
3
c1cc2
=ρβ−ρΓ+ρ
&&
(3.6)
В случае β
1
>0 и k
2
<;0 уравнение (3.5) имеет решение
),/(hsec)(
c0cc
τ
η
ρ
=
η
ρ
(3.7)
где длительность солитона τ
c
и его амплитуда р
со
удовлетворяют соотно-
шению
./k2
2
0c1
2
c2
ρβ=τ=Γ (3.8)
Плотность энергии солитона
c202c12кр
n
k/k2/k2W τ=τβ= (3.9)
обратно пропорциональна длительности.
Таким образом, в фокусирующей среде (β
1
>0) с аномальной диспер-
сией могут формироваться солитоны секанс-гиперболической формы (3.7).
На начальном этапе импульс с плотностью энергии W>W
KP
сжимаегся, а с
W<Wкр расплывается (рис. 3.3).
Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что солитон (3.7) является
устойчивым образованием по отношению к малым возмущениям. 
      Совместное действие нелинейности и дисперсии среды; шредин-
геровские солитоны
      Самовоздействие световых импульсов в нелинейной среде, сопрово-
ждаемое уширением, может привести к необходимости учета дисперсии
среды во втором и более высоком приближениях линейной теории диспер-
сии. Эта наиболее реальная и часто теперь встречающаяся на практике си-
туация при работе с длительностями 10-13—10-14 с. Самовоздействие им-
пульсов будем описывать уравнением (в бегущих координатах)

                           ∂A      1 ∂ 2A                 2
                                − i k 2 2 + iβ1 A A = 0,                    (3.5)
                           ∂z      2 ∂η
которое часто называют нелинейным уравнением Шредингера.
       Здесь β1 = 3πχ (3) k 0 / 2n 02 = k 0 n 2 / 2n 0 - нелинейный коэффициент,
η = t − z / u (бегущая система координат). Параметр k2 характеризует дис-
персию групповой скорости в первом приближении
                            ∂ 2k           1    ∂u       λ30  ∂ 2 n 
                    k 2 =  2  = − 2   =                     
                                                                 2
                                                                         
                                                                       2 
                            ∂ω            u    ∂ ω  ω   2 πc   ∂λ   
                                ω0               0              λ0
и учитывает линейную дисперсию среды во втором приближении.
     Особый интерес представляет режим самосжатия. Стационарную
форму импульса можно найти, полагая в (3.14) А =ρc(η)е-iГz. Для амплиту-
ды получим      1 / 2k 2&ρ& c + Γρ c − β1ρ 3c = 0.
      Это уравнение преобразуется к виду 1 / 2k 2&ρ& c + Γρ c − β1ρ 3c = 0. (3.6)
      В случае β1>0 и k2<;0 уравнение (3.5) имеет решение
                       ρc (η) = ρc0 sec h (η / τ c ),                       (3.7)
где длительность солитона τc и его амплитуда рсо удовлетворяют соотно-
шению
                        2Γ = k 2 / τ 2c = β1ρc20 .                          (3.8)
      Плотность энергии солитона
                       Wкр = 2 k 2 / β1τ c = 2 k 2 / k 0 ~
                                                         n 2τc              (3.9)
обратно пропорциональна длительности.
      Таким образом, в фокусирующей среде (β1>0) с аномальной диспер-
сией могут формироваться солитоны секанс-гиперболической формы (3.7).
На начальном этапе импульс с плотностью энергии W>WKP сжимаегся, а с
W

Страницы