Составители:
4 5
Предисловие
Предлагаемая читателю работа является учебным пособием к кур-
су лекций «Информатика», читаемого студентам всех специальностей.
Создавая это пособие, автор пытался совместить две цели. Первая –
изложить материал, делая акцент на решении конкретных математичес-
ких задач, рассматриваемых в этом курсе и не вошедших в учебное
пособие [3]. Вторая цель – последовательно рассказать об основах рас-
четов, интерфейсе пользователя системы MathCAD в части, касающей-
ся рассматриваемых в настоящем пособии численных методов.
Пособие состоит из четырех глав. В первых трех рассматриваются
краткие теоретические основы численных методов (нахождение корней
нелинейных уравнений, методы решения задач Коши для уравнений и
их систем и построение графиков). Более полное изложение некоторых
из этих вопросов можно найти, например, в [1, 2]. Приводится решение
типовых задач для этих методов в системе MathCAD. В четвертой –
излагаются основы работы в этой системе и дается краткая справочная
информация, касающаяся операторов системы MathCAD, используемых
в примерах этого пособия.
I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1. Введение
В данной работе рассматриваются задачи, в которых математичес-
кие модели представлены уравнениями вида
0
)
(
=
x
f
, (1)
где уравнения (1) следующего класса:
а) нелинейных алгебраических вида
;0...
2
210
=++++
n
n
xaxaxaa
б) нелинейных трансцендентных (например,
;
0
sin
=
+
x
x
x
a
e
xx
cos
+
+
).
Нахождение корня уравнения, т. е. значения аргумента х*, обеспе-
чивающего выполнение равенства (1), проводится в два этапа.
На первом этапе осуществляется отделение корней уравнения (1).
Отделить корень уравнения – значит найти такой конечный интервал, на
котором имеется единственный его корень. Перемена знака функции сви-
детельствует о нахождении в подынтервале либо корня функции, либо
точки разрыва. Если непрерывная на отрезке [а, b] функция f принимает
на его концах значения разных знаков, то на интервале [а, b] существует
хотя бы один корень уравнения f (x) = 0. При этом корень будет заведомо
единственным, если f монотонна на [а, b] (например, когда f дифферен-
цируема и
0)(
'
>xf
на (a, b)).
Точное число лежащих на данном интервале действительных кор-
ней многочлена с действительными коэффициентами, не имеющего крат-
ных корней, находят по правилу Штурма.
Предварительное исследование функций проводится одним из сле-
дующих способов:
а) табулированием функции на заданном интервале изменения ар-
гумента;
б) графоаналитическими методами исследования.
На втором этапе выполняется уточнение значения корня до задан-
ной точности e, т. е. для каждого отдельного подынтервала проводится
итерационные процедуры уточнения.
Ограничение итерационного процесса может быть обеспечено, если
выполняется условие
1
)(
e
£
i
xf , (2)
где e
1
– положительное число, значение которого определяется
исследователем.
Это условие может оказаться недостаточным для нахождения, в
частности, корней медленно меняющихся функций, а также в случаях,
когда в пределах подынтервала находится точка разрыва функции. Уточ-
нение корня или точки разрыва может быть обеспечено включением в
алгоритм операции контроля длины интервала неопределенности значе-
ния корня:
,
21
e
£
-
+ ii
xx (3)
где e
2
– заданное положительное число, определяющее максимальную
длину подынтервала между соседними значениями аргумента x
i
, x
i+1
,
для которых вычислены значения функции f (x).
