Составители:
6 7
Для уточнения приближенного значения обычно используются
итерационные алгоритмы. С их помощью строится последовательность,
элементы которой в пределе сходятся к точному значению корня x*
урав-
нения (1). Сам метод решения при этом называется итерационным или
методом последовательных приближений.
2. Итерационные алгоритмы
Для уточнения корней уравнений (1) будем использовать алгорит-
мы, обеспечивающие получение решения за конечное число шагов итера-
ционного процесса при выполнении в его начале условия (3). Это
алгоритмы методов дихотомии, касательных секущих и конечных
итераций.
2.1. Метод дихотомии (деления отрезка пополам)
На первом этапе должен быть найден отрезок [a, b] такой, что f (a)
f (b) < 0. За начальное приближение примем
2
0
ab
x
-
=
.
На втором этапе выбирается тот из двух отрезков [a, x
0
], [x
0
, b], на
концах которого функция f (x) имеет значения разных знаков и за x
0
принимается середина этого отрезка, и т. д. Таким образом, строится
последовательность x
n
, n = 0,1 ..., сходящаяся при n ® ¥ к x*. После
каждой итерации отрезок, содержащий корень, уменьшается вдвое.
Инерционный процесс продолжается до тех пор, пока длина полученного
отрезка не станет меньше заданной величины e. За приближенное
решение принимается средняя точка последнего промежутка.
2.2. Метод касательных (Ньютона)
Геометрический смысл метода касательных заключается в том, что
на отрезке [a, b], содержащем корень x* уравнения (1), график функции
заменяется отрезком касательной, проведенной к графику f (x) при x = a
или x = b. При этом используется только одна точка, поэтому не
обязательно задавать отрезок [a, b], содержащий корень, достаточно
задать некоторое приближение x
0
.
Уравнение касательной в точке (x
0
, y
0
) имеет вид
))(()(
00
'
0
xxxfxfy -=-
. (4)
Для точки пересечения с осью ОX получаем
)(
)(
0
'
0
0
1
xf
xf
xx -=
. (5)
Если x
n
– некоторое приближение точного значения корня х*
исходного уравнения, то можно получить следующее приближение
корня х*:
... 2, 1,0, ,
)(
)(
'
1
=-=
+
n
xf
xf
xx
n
n
n
n
(6)
Объем вычислений в методе Ньютона на каждом шаге выше, чем в
предыдущих методах, так как в точке x
n
вычисляются значения функции
и ее производной, но этот недостаток компенсируется более высокой
скоростью сходимости этого метода.
Геометрически метод Ньютона означает, что следующее прибли-
жение x
n+1
находится, если график функции f в окрестности точки
(x
n
, f (x
n
)) заменить касательной к графику, проведенной в этой точке,
и взять за x
n+1
точку пересечения касательной с осью абсцисс.
Метод Ньютона сходится не при всяком выборе начального при-
ближения x
0
на отрезке [a, b], содержащем корень уравнения. Если фун-
кции
)(
'
xf
и
)(
''
xf
непрерывны и сохраняют определенные знаки при
]
,
[
b
a
x
Î
, исходя из начального приближения
],[
0
bax
Î
, удовлетворя-
ющего условию
0)()(
''
>xfxf
, то можно вычислить методом Ньютона
единственный корень уравнения f (x) = 0 с любой степенью точности e.
Достаточных условий сходимости метода будет сохранение знака вто-
рой производной
)(
''
xf
на некотором промежутке, содержащем корень,
и выбор начального приближения с той стороны от корня, где знак фун-
кции совпадает со знаком второй производной.
2.3. Метод секущих (хорд)
Большей скоростью сходимости обладает метод секущих (МС), у
которого на втором этапе при выборе очередного приближения внутри
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
