Численные методы решения задач строительного профиля в среде MathCad. Кокорин А.М. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

8 9
отрезка, содержащего корень, учитывается величина невязки на концах
отрезка: точка выбирается ближе к тому концу, где невязка меньше. Гео-
метрический смысл метода заключается в замене кривой
)
(
x
f
y
=
хор-
дой. Для точки пересечения хорды с осью абсцисс
,
c
x
0
y
имеем
)(
)()(
af
afbf
ab
ac
-
-
-=
. (7)
При этом
c
x
=
принимается за очередное приближение к корню.
Далее выбирается тот из промежутков
[
]
ca,
,
[
]
bc,
, на концах которогоо
функция имеет значения разных знаков. При этом, как показано в [1],
если
)
(
x
f
дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак
)
(
x
f
¢
¢
сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные при-
ближения будут сходиться к корню монотонно. Очередное приближение
находится как точка пересечения хорды с осью абсцисс.
За начальное приближение
0
x
принимается то из чисел, для кото-
рого эти знаки
)(
0
xf
и
)(
0
xf
¢
¢
одинаковы. В МС вычисление приближе-е-
ния корня уравнения производят по формулам
)(
)()(
)(
;
1
10
ax
xfxf
xf
xxbx
n
n
n
n
nn
-
-
-==
-
+
(8)
либо
.)(
)()(
)(
;
10 n
n
n
nn
xb
bfxf
xf
xxax -
-
-==
+
(9)
2.4. Метод простых итераций
Предварительно исходное уравнение приводят к равносильному
уравнению вида
)
(
x
x
j
=
. Это можно сделать различными способами,
например, используя теорему [1], приводимую здесь без доказательства.
Теорема
Пусть на промежутке [a ,b] функции
)
(
x
f
и
)
(
x
f
¢
непрерывны
и выполняется неравенство
2
1
)( MxfM
¢
, где
)(
min
],[
1
xfM
bax
¢
Î
и
)(
max
],[
2
xfM
bax
¢
Î
. То тогда последовательность
x
n+1
= j(x
n
), n = 0, 1, 2 … (10)
монотонно сходится к корню x* уравнения
0
)
(
x
f
. Здесь функция j(x
n
)
(непрерывная и знакопостоянная) имеет следующий вид:
)(
1
)(
2
xf
M
xx -=j
. (11)
Таким образом, выбирая некоторое приближение x
0
и вычисляя по
формулам (8), мы получаем последующие приближения искомого корня
уравнения. Этот процесс называют также одношаговой итерацией. Ите-
рационный процесс обычно прекращают, если два соседних приближе-
ния совпадают с заданной точностью:
e£-
-1nn
xx
.
2.5. Примеры
Для функции f (x), приведенной в индивидуальном задании
(табл. 1), найти решение уравнения (1) с заданной точностью e. Для ре-
шения использовать методы: дихотомии, Ньютона, хорд и конечных ите-
раций.
Пример. С точностью
001
.
0
e
найти положительный корень
уравнения
3.68.2)(
3
-+= xxxf
Листинг 1. Программа отделения корней.
Введите искомую функцию F (z):
Fz() z
3
2.8 z×+
6.3
-:=
Найдем её первую и вторую производные:
F1z()
z
Fz()
d
:=
F
z
(
)
z
2.8
z
×
+
:=
F2z()
2
z
Fz()
d
d
2
:=
Введем границы интервала [A, B] для отделения корней
A
1
-
:=
A1
0.8
-
:=
2
:=
Выведем на экран таблицу функций F(x), F1(x), F2(x):

Страницы