Колебания в механических и электрических системах. Колачева Н.М - 25 стр.

                                       25

                   x        x
                                    kx 2 kA 2
           E n = − ∫ Fdx = ∫ kxdx =     =     cos 2 (ω t + ϕ ) (4.19)
                   0       0
                                     2    2

     Сложив (4.18) и (4.19),           получим выражение для полной
энергии
                kA 2                                         kA 2
  E = Ek + En =      ⎡⎣ sin (ω t + ϕ ) + cos (ω t + ϕ ) ⎤⎦ =
                           2                2

                 2                                            2 (4.20)

     Сопоставляя между собой как аналитические зависимости
смещения x, кинетической Ek и потенциальной Eп энергий от
времени, так и их графическое отображение (рис. 4.6), видим, что
в процессе колебаний кинетическая и потенциальная энергии не-
прерывно меняются.
     Кинетическая энергия превращается в потенциальную и на-
оборот, однако полная энергия гармонических колебаний, как
мы и предположили в начале параграфа, остается в процессе ко-
лебаний постоянной величиной, пропорциональной квадрату
амплитуды смещения.
                               kA2 mA2ω 2
                 E = Ek + En =    =       = const
                                2    2
  В силу того, что
                                   1
                  cos 2 (ω t + ϕ ) = [1 − cos 2 (ω t + ϕ )]
                                   2
                                  1
                sin 2 (ω t + ϕ ) = [1 + cos 2 (ω t + ϕ )],
                                  2
можно сделать вывод, что энергии Ek и Eп изменяются со време-
нем с частотой 2ω, то есть с частотой, в два раза превышающей
собственную частоту гармонических колебаний осциллятора
(см. рис. 4.6).
      Максимальные значения кинетической и потенциальной
энергий одинаковы и равны величине полной энергии колебаний.
Ek ,max = En ,max = E