Колебания в механических и электрических системах. Колачева Н.М - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

23
02
0
2
=−
ϕ
klmgl
отсюда определим угол φ
0
kl
mg2
0
=
ϕ
(4.15)
Если отклонить стержень от положения равновесия на до-
полнительный угол
ϕ
, то возникнут колебания. Для получения
уравнения колебаний воспользуемся основным законом динами-
ки вращательного движения (4.1). При этом в качестве угловой
координаты будем брать суммарный угол отклонения стержня от
горизонтали (φ
0
+φ). Сумма моментов сил определяется анало-
гично равенству (4.14)
()
(
)
ϕϕϕϕ
+−=+
0
2
0
2 klmglI
&&&&
, (4.16)
где - момент инерции груза m. Так как
()
2
2lmI = const=
0
ϕ
,
то
0
0
=
ϕ
&&
. С учетом этих фактов и равенства (4.15), уравнение
(4.16) перепишется
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
ϕϕ
kl
mg
klmglml
2
24
22
&&
Упростив его, получим
04
=
+
ϕ
ϕ
k
m
&&
или
0
4
=+
ϕϕ
m
k
&&
(4.17)
Сопоставив уравнения (4.17) и (1.5), получим, что колебания
стержня происходят с частотой
m
k
2
1
=
ω
и имеют период
k
m
T
π
4=
Энергия колебательной системы 
                                    23


                       2mgl − kl 2ϕ 0 = 0
  отсюда определим угол φ0
                             2mg
                        ϕ0 =                                (4.15)
                              kl

     Если отклонить стержень от положения равновесия на до-
полнительный угол ϕ , то возникнут колебания. Для получения
уравнения колебаний воспользуемся основным законом динами-
ки вращательного движения (4.1). При этом в качестве угловой
координаты будем брать суммарный угол отклонения стержня от
горизонтали (φ0+φ). Сумма моментов сил определяется анало-
гично равенству (4.14)

               I (ϕ&&0 + ϕ&&) = 2mgl − kl 2 (ϕ0 + ϕ ) ,     (4.16)

   где I = m(2l )2 - момент инерции груза m. Так как ϕ 0 = const ,
то ϕ&&0 = 0 . С учетом этих фактов и равенства (4.15), уравнение
(4.16) перепишется
                                             ⎛ 2mg   ⎞
                     4ml 2ϕ&& = 2mgl − kl 2 ⎜      +ϕ⎟
                                             ⎝ kl    ⎠
   Упростив его, получим
                                4mϕ&& + kϕ = 0
   или
                                      k
                               ϕ&& +     ϕ =0               (4.17)
                                     4m
      Сопоставив уравнения (4.17) и (1.5), получим, что колебания
стержня происходят с частотой
                                        1 k
                                   ω=
                                        2 m
и имеют период
                                           m
                                  T = 4π
                                            k
                   Энергия колебательной системы

Страницы