Колебания в механических и электрических системах. Колачева Н.М - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

46
или
тр
Frx
=
−
&
, (7.1)
где r - коэффициент трения, зависящий от свойств среды.
Дополним учетом силы трения рассмотренный выше пример
колебаний пружинного маятника (раздел 3). Полная сила, дейст-
вующая в этом случае на маятник, определяется как сумма упру-
гой возвращающей силы и силы трения. С учетом этого уравне-
ние (3.2) преобразуется так
x
r
kxxm
&&&
−
−
=
(7.2)
или
0
=
+
+
kxx
r
xm
&&&
Последнее соотношение перепишем в виде
, (7.3)
02
2
0
=++ xxx
ωβ
&&&
где
m
r
2
=
β
(7.4)
Величина, характеризующая действие силы трения, называется
коэффициентом затухания и имеет размерность частоты коле-
баний
[][]
рад
с
βω
==
;
m
k
=
0
ω
- собственная частота, которую имел бы груз в от-
сутствии силы трения (т. е. при β = 0). Выражение (7.3) называет-
ся
дифференциальным уравнением затухающих колебаний.
Решение уравнения (7.3), то есть нахождение функции х(t),
удовлетворяющей уравнению в любой момент времени и являю-
щейся законом движения груза, довольно громоздко. Запишем
сразу готовое решение в случае малых затуханий
)cos()(
0
ϕω
β
+=
−
teAtx
t
, (7.5) 
                                 46

  или
                              Fтр = − rx&   ,                 (7.1)

  где r - коэффициент трения, зависящий от свойств среды.
     Дополним учетом силы трения рассмотренный выше пример
колебаний пружинного маятника (раздел 3). Полная сила, дейст-
вующая в этом случае на маятник, определяется как сумма упру-
гой возвращающей силы и силы трения. С учетом этого уравне-
ние (3.2) преобразуется так
                            m&x& = −kx − rx&              (7.2)

  или
                        m&x& + rx& + kx = 0
  Последнее соотношение перепишем в виде
                       &x& + 2βx& + ω 02 x = 0 ,              (7.3)

  где
                                 r
                           β=                                 (7.4)
                                2m

Величина, характеризующая действие силы трения, называется
коэффициентом затухания и имеет размерность частоты коле-
                     рад
баний [ β ] = [ω ] =     ;
                      с
               k
     ω0 =         - собственная частота, которую имел бы груз в от-
              m
сутствии силы трения (т. е. при β = 0). Выражение (7.3) называет-
ся дифференциальным уравнением затухающих колебаний.
     Решение уравнения (7.3), то есть нахождение функции х(t),
удовлетворяющей уравнению в любой момент времени и являю-
щейся законом движения груза, довольно громоздко. Запишем
сразу готовое решение в случае малых затуханий

                     x ( t ) = A 0 e − β t cos( ω t + ϕ ) ,   (7.5)

Страницы