Составители:
Рубрика:
6
1.2. Дифференциальные уравнения линейной цепи
с сосредоточенными параметрами
Система дифференциальных уравнений, описывающая переход
ный процесс, может быть представлена в различных видах. Полу
ченные уравнения могут быть приведены к одному дифференциаль
ному уравнению относительно искомой переменной. В общем случае
будем иметь неоднородное дифференциальное уравнение nго поряд
ка, линейное с постоянными коэффициентами
1
110
1
... ( ).
nn
nn
nn
dx d x dx
aa aaft
dt
dt dt
11112
(1.1)
Это – неоднородное уравнение, так как правая часть f(t) ¹ 0.
Как известно из математики, решение неоднородного уравнения
складывается из двух решений:
() '() "(),xt x t x t12 (1.2)
где
уст
'( ) ( )xt x t1
– частное решение неоднородного уравнения, кото
рое в электротехнике носит понятие установившейся (вынужденной)
составляющей;
св
"( ) ( )xt x t1 – общее решение однородного дифферен
циального уравнения
1
св св св
110
1
... 0.
nn
nn
nn
dx d x dx
aa aa
dt
dt dt
11112
(1.3)
Для определения установившейся составляющей необходимо рас
считать цепь любым методом расчета в новом установившемся режиме.
Для нахождения свободной составляющей необходимо определить
корни характеристического уравнения a
1
, a
2
,..., a
n
и постоянные
интегрирования А
1
, А
2
,..., А
n
, так как общее решение однородного
уравнения записывается следующим образом:
11
св 1 1
"( ) ( ) ... .
nn
tt
t
nn
xt x t Ae A e Ae11 2 22
(1.4)
Составим характеристическое уравнение. Для этого необходимо
первую производную заменить на a, вторую –a
2
, а nпроизводную на
a
n
. В соответствии с выражением (1.3) имеем
1
110
... 0.
nn
nn
aa aa12 1 2 2 12 3
(1.5)
Решая (1.3), найдем корни характеристического уравнения. Сво
бодная составляющая всех реакций с течением времени затуха
ет,
св
0
lim
i
t
x 1
, так как энергия электрических полей емкостей и маг
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
