Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 25 стр.

                                         25
        §10. ФЛУКТУАЦИИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
      Если макроскопическая система находится в состоянии равновесия, то
любая физическая величина А на самом деле не постоянна во времени, а непре-
рывно изменяется около своего равновесного (среднего) значения A . Вследст-
вие микроскопического движения происходит самопроизвольное изменение
макропараметров системы. Случайные отклонения физических величин от их
средних значений называются флуктуациями. Задача теории флуктуаций со-
стоит в нахождении вероятности возникновения той или иной величины флук-
туации.
      Математически определение флуктуации обычно состоит в вычислении:
          − дисперсии, или среднего квадрата отклонения величины от средне-
             го значения (математического ожидания), т.е. A −A ;
         − среднеквадратического отклонения               A −A ;
                                              A −A
         − относительной флуктуации              .
                                             A2
     Согласно А. Эйнштейну (1910), мерой вероятности флуктуации служит та
минимальная работа, которую пришлось бы произвести над системой, чтобы
вызвать рассматриваемую флуктуацию обратимым образом, т.е. без изменения
энтропии системы:
                             W фл ~ e −Amin kT .                  (10.1)
На основе этой идеи можно получить выражения для дисперсии температуры,
объема, энтропии и давления:
                                       kT 2
                              ∆T 2 =         ,                    (10.2)
                                        CV
                                       � ∂V�
                           ∆V 2 =−kT �       �        ,                (10.3)
                                        � ∂p�     T

                                ∆S =kC p ,
                                   2
                                                                       (10.4)
                                          � ∂p�
                               ∆p2 =−kT �       �  .                (10.5)
                                           � ∂V� S
Очевидная положительность всех этих величин обеспечивается неравенствами
CV >0 , (∂V ∂p )T <0 , C p >0 и (∂p ∂V )S <0 .
      Дисперсия – это случайная величина. Часто она распределена около сред-
него значения A по нормальному (гауссову) закону (см. задачу 4.3):
                                      ( A −A )2            ( A −a )2
                                    −                     −
                                     2( A −A )2
                   f ( A −A ) =C ⋅ e   =C '⋅ e     .         2σ 2
                                                               (10.6)
Эта формула применима лишь для малых флуктуаций. Формулы (10.2) – (10.5)
получены при условии подчинения дисперсий закону (10.6).