Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 26 стр.

                                         26
                          ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
10.1. Нормальный (гауссов) закон распределения случайной величины х харак-
теризуется плотностью вероятности вида
                                           ( x −a )2
                                          −
                             f ( x ) =C e    2σ 2
                                              ,
σ – параметр распределения. Найдите коэффициент нормировки С. Покажите,
что математическое ожидание величины х равно а, а ее дисперсия равна σ2. Ус-
тановите характер зависимости f ( x ) при разных значениях σ.

10.2. Найдите средний квадрат флуктуации температуры ∆T 2 и относительную
флуктуацию температуры ∆T 2 T 2 для идеального газа. Вычислите относи-
тельную флуктуацию температуры азота при Т = 300 К и p = 1 мм. рт. ст. в объ-
еме V = 1 мл и V = 1 мкм3.
10.3. Найдите средний квадрат флуктуации объема ∆V 2 и относительную
флуктуацию объема ∆V 2 V 2 для идеального газа. Вычислите относительную
флуктуацию объема при Т = 300 К и p = 1 мм. рт. ст. в объеме V = 1 мл и V = 1
мкм3.
10.4. Вычислите средний квадрат флуктуации давления ∆p2 и относительную
флуктуацию давления    ∆p2 p2 в 1 мм3 паров ртути при Т = 2000 К и давлении
0,01 атм.
10.5*. Исходя из уравнения ∆V 2 =−kT (∂V ∂p )T , получите выражение для
флуктуации числа частиц ∆N 2 , находящихся в выделенном теле объема V.
Преобразуйте его для молекул идеального газа. Найдите относительную флук-
туацию числа частиц   ∆N 2 N 2 в объеме 1 мкм3 при нормальных условиях.
10.6*. Пользуясь в качестве независимых переменных объемом V и температу-
рой Т, найдите средний квадрат флуктуации энергии системы, находящейся в
термостате.
10.7. Тело массой m покоится, однако его движение может появиться в резуль-
тате флуктуации. Покажите, что средний квадрат флуктуации каждой из декар-
товых компонент скорости равен (∆vx ) =kT / m .
                                     2




10.8. Математический маятник длиной l и массой m покоится. Найдите средний
квадрат его флуктуационного отклонения ∆ϕ2 . Вычислите эту величину для m
= 1 г, l = 30 см, Т = 300 К.