Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
1/2
3
()8(2)
,
e1
kT
dNmVm
dh
µ
π
−
−
=⋅
+
E
EE
?
E
(11.5)
где m – масса частицы, V – объем газа . При температуре Т = 0 зависимости
(11.3) и (11.5) мгновенно обрываются до нуля, когда энергия
равна некото-
рой граничной энергии
0
E
. Энергия
0
E
называется энергией Ферми. При Т = 0
все состояния с
0
≤
EE
полностью заняты (
1
i
N
=
), а с
0
>
EE
– свободны
(
0
i
N
=
). Поэтому энергию Ферми можно вычислить из условия, что при Т = 0
полное число частиц газа равно числу возможных состояний с
0
≤
EE
:
22
2
33
0
3
.
8
hN
mVπ

=⋅⋅


E (11.6)
Это условие представляет собой условие нормировки функции
()
dN
E
.
Отступление в поведении квантовых газов от классического газа Мак-
свелла -Больцмана получило название вырождения. Его нельзя смешивать с
понятием вырождения (кратности состояний) в квантовой механике. Так, при
Т = 0 кривая (11.3) приобретает вид ступеньки :
()1
f
=
E
, пока
0
≤
EE
. Этот газ
называют вырожденным . Критерий вырождения:
00
.
kT
=
E (11.7)
Если
0
TT
! , газ считают вырожденным , и
0
µ
=
E
. При Т > 0 значение
()1
f
=
E
,
если
0
EE
! ;
1
2
()
f
=
E
, если
0
=
EE
. Область энергий, в которой происходит
резкое изменение
()
f
E
, называется областью размытости : часть состояний с
энергией
0
<
EE
свободна, а с энергией
0
>
EE
частично занята. Здесь уже
0
µ
≠
E
.
Для сильно вырожденного газа (
0
TT
!
):
2
2
00
0
1.
12
kTπ
µ



=−<




EE
E
(11.8)
При
0
TT
!
ферми-газ ведет себя как классический.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
11.1. Плотность меди равна 8,9 г/см
3
. Найдите концентрацию свободных элек -
тронов в медном кристалле.
11.2. Концентрация свободных электронов в меди равна 8,5·10
28
1/м
3
. Какова
максимальная скорость движения свободных электронов в медном кристалле
при Т = 0. Электронный газ считать идеальным газом Ферми.
11.3. Найдите энергию Ферми для электронного газа в медном кристалле, если
концентрация свободных электронов равна 8,5·10
28
1/м
3
. 
                                         28
                         dN ( E ) 8π mV (2 mE )1/ 2
                                 = 3 ⋅ µ−E ,?                      (11.5)
                           dE       h     −
                                         e kT +1
где m – масса частицы, V – объем газа. При температуре Т = 0 зависимости
(11.3) и (11.5) мгновенно обрываются до нуля, когда энергия E равна некото-
рой граничной энергии E0 . Энергия E0 называется энергией Ферми. При Т = 0
все состояния с E ≤E0 полностью заняты ( N i =1 ), а с      E >E0 – свободны
( N i =0 ). Поэтому энергию Ферми можно вычислить из условия, что при Т = 0
полное число частиц газа равно числу возможных состояний с E ≤E0 :
                                     2            2
                               � 3 � 3 h � N� 3
                                           2
                          E0 =� � ⋅          ⋅� � .                     (11.6)
                                � π�      � � V
                                         8m
Это условие представляет собой условие нормировки функции dN ( E ) .
      Отступление в поведении квантовых газов от классического газа Мак-
свелла-Больцмана получило название вырождения. Его нельзя смешивать с
понятием вырождения (кратности состояний) в квантовой механике. Так, при
Т = 0 кривая (11.3) приобретает вид ступеньки: f ( E ) =1, пока E ≤E0 . Этот газ
называют вырожденным. Критерий вырождения:
                                     E0 =kT 0 .                         (11.7)

Если T �T 0 , газ считают вырожденным, и µ =E0 . При Т > 0 значение f ( E ) =1,
если E E0 ; f ( E ) =12 , если E =E0 . Область энергий, в которой происходит
резкое изменение f ( E ) , называется областью размытости: часть состояний с
энергией E E0 частично занята. Здесь уже µ ≠E0 .
Для сильно вырожденного газа (T �T 0 ):
                                 � π 2 � kT� �
                                              2

                        µ =E0 � 1 − �       � �

Страницы