ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.7. Интегрирование тригонометрических выражений
3.7.1. Интегралы вида
∫
dxxx
nm
cossin
1. Предположим, что оба показателя степени и – четные числа, m n
k
m 2
=
и
l
n 2= , где k и l – неотрицательные целые числа.
Тогда для понижения степеней синуса и косинуса можно воспользоваться
тригонометрическими тождествами
x
x
2cos1cos2
2
+
=
,
x
x
2cos1sin2
2
−
=
,
x
x
x
2sincossin2
=
.
Действительно,
.)2cos1()2cos1(
4
1
)(cos)(sincossin
2222
∫
∫∫
+−=
=
dxxx
dxxxxdxx
lk
lklk
Если раскрыть скобки, то мы получим сумму более простых интегралов,
часть из которых – табличные, а другие могут быть упрощены повторным
понижением степеней.
2. Предположим, что
n – нечетное число, 12
+
=
k
n .
Тогда для любого числа
, m
.cos)sin1(sin
coscossincossin
2
212
∫
∫∫
−=
=
+
xdxxx
xdxxxxdxx
km
kmkm
Используя подстановку
x
t
sin= (
x
dxd
t
cos
=
), получаем элементарно
вычисляемый интеграл:
∫
∫
−=
+
dtttxdxx
kmkm
)1(cossin
212
.
Если
– нечетное число, то нужно применить подстановку m
x
t
cos=
:
∫
∫∫
−−=−=
+
dtttxdtxxxdxx
nknknk
)1(sincos)cos1(cossin
2212
.
Примеры:
•
Cxxdxxxdx ++=+=
∫∫
)2sin
2
1
(
2
1
)2cos1(
2
1
cos
2
.
.sin
5
1
sin
3
1
5
1
3
1
)()1(
cos)sin1(sincossin
5353
4222
2232
sin
CxxCtt
dtttdttt
dxxxxxdxx
tx
+−=+−=
−=−=
−=•
∫∫
∫∫
=
73
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
