Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Другой возможной подстановкой является
t
a
x
si
n
=
, которая дает
tataa
t
a
ax ctgctg
sin
222
2
2
22
==−=− , (64)
dt
t
ta
dx
2
sin
cos
−= .
Пример 1. Вычислить
dx
x
x
∫
−
2
2
3
.
Решение. Подстановка
tx sin3=
дает
. ctg)1
sin
1
(ctg
cos3
sin3
cos33
2
2
22
2
Cttdt
t
tdt
dtt
t
t
dx
x
x
+−−=−==
=
−
∫∫
∫∫
Решение выражено в терминах переменной
t
. Чтобы записать его в
терминах переменной
x
, выполним следующие преобразования:
tx sin3=
⇒
3
arcsin
x
t =
,
x
x
x
x
x
x
t
t
t
t
t
2
2
2
2
3
3
3
1
3
arcsinsin
3
arcsinsin1
sin
sin1
sin
cos
ctg
−
=
−
=
−
=
−
==
.
Таким образом,
C
x
x
x
dx
x
x
+−
−
−=
−
∫
3
arcsin
33
2
2
2
.
Пример 2. Вычислить
dx
x
x
∫
+
4
2
9
.
Решение. Пусть
t
x
tg3=
. Тогда
t
dt
dx
2
cos
3
= и
t
x
cos
3
9
2
=+
⇒
.
sin27
1
sin
)(sin
9
1
sin
cos
9
1
costg
81
99
344
344
2
C
t
t
td
t
tdt
tt
dt
dx
x
x
+−===
=
+
∫∫
∫∫
Осталось записать решение в терминах исходной переменной
x
.
Учитывая равенство
3
arctg
x
t =
и тождество
3
)
3
arctg(tg tg
xx
t ==
, находим
85

Страницы