Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

22222
9)3(1
3
tg1
tg
sincos
sin
sin
x
x
x
x
t
t
tt
t
t
+
=
+
=
+
=
+
= .
Следовательно,
C
x
xx
dx
x
x
+
++
−=
+
∫
3
22
4
2
27
9)9(9
.
Пример 3. Вычислить
∫
− 5
22
xx
dx
.
Решение. Подстановка
t
x
sin
5
=
влечет
dt
t
t
dx
2
sin
cos5
−=
и tx ctg55
2
=− .
Тогда
C
t
tdt
tt
tdtt
xx
dx
+=−=−=
−
∫∫∫
5
cos
sin
5
1
sin ctg
sincos
55
5
5
2
2
22
.
Выразим
t
cos
через переменную
x
:
t
x
sin
5
=
⇒
x
t
5
sin =
⇒
x
x
x
tu
5
)
5
(1sin1cos
2
22
−
=−=−=
.
Окончательно имеем:
C
x
x
xx
dx
+
−
=
−
∫
5
5
5
2
22
.
Замечание. Чтобы избавиться от радикалов cbxx ++±
2
, нужно
предварительно выделить полный квадрат в выражении под знаком
радикала, преобразовав его к виду
const)(
2
+−± ax . Затем подстановка
a
x
y −=
сводит проблему к одной из вышерассмотренных.
3.8.2.2. Гиперболические подстановки
1. Гиперболическое тождество
z
z
2
2
ch
1
th1 =− (см. Приложение 1)
подсказывает сразу две подстановки, za
x
th
=
и
z
a
x
ch
=
, которые
позволяют устранить радикалы вида
22
xa − .
Действительно, полагая za
x
th
=
, мы имеем
z
a
zaxa
ch
th1
222
=−=− , dz
z
a
dx
2
ch
= .
Аналогично, подстановка
z
a
x
ch
=
дает
zaza
z
axa thth
ch
1
1
2
2
22
==−=− , dz
z
za
dx
2
ch
sh
−= .
86

Страницы