ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.8.2. Интегралы, содержащие радикалы вида
22
xa ± ,
22
ax −
3.8.2.1. Тригонометрические подстановки
1. Чтобы избавиться от радикалов вида
22
xa − , можно применить
тригонометрическую подстановку
t
a
x
sin
=
. При этом
,coscos)sin1(
sin
2222
22222
tatata
taaxa
==−=
−=−
(59)
td
t
adx cos
=
.
Тот же эффект достигается с помощью подстановки ua
x
cos= . В этом
случае
taxa sin
22
=− и td
t
adx sin
−
=
.
2.
Иррациональность вида
22
xa + устраняется использованием
подстановки
t
a
x
tg=
благодаря тригонометрическому тождеству
t
t
2
2
cos
1
tg1 =+ . (60)
При этом
t
a
t
a
tataaxa
cos
cos
)tg1(tg
2
2
2222222
==+=+=+ , (61)
t
adt
dx
2
cos
= .
Другой возможной подстановкой является
t
a
x
ctg
=
, которая влечет
t
a
t
a
taxa
cos
sin
)ctg1(
2
2
2222
==+=+ , (62)
t
adt
dx
2
sin
−=
3.
Тригонометрическое тождество (60) позволяет также избавиться от
радикалов вида
22
ax − . Формула (60), записанная в виде
t
t
2
2
tg1
cos
1
=− ,
показывает, что разность
22
a
x
−
представляет собой полный квадрат,
если
t
a
x
cos
=
. При этом dt
t
ta
dx
2
cos
sin
= ,
tataa
t
a
ax tgtg
cos
222
2
2
22
==−=− . (63)
84
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
