Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.8. Интегрирование выражений, содержащих радикалы
3.8.1. Иррациональности вида
n
bax +
,
n
dcx
bax
+
+
1. Избавление от иррациональности вида
n
bax +
достигается
подстановкой
n
t
bax =+ . При этом
tbax
n
=+
и
dtnt
a
dx
n 1
1
−
=
.
Пример 1. Вычислить
∫
+ 3x
dx
.
Решение. Подстановка
2
t
x
= дает
tx =
и td
t
dx 2
=
. Тогда
.|3|ln62|3|ln62
3
62
3
)33(
2
3
2
3
CxxCtt
t
dt
dt
t
dtt
t
tdt
x
dx
++−=++−=
+
−=
+
−
+
=
+
=
+
∫∫
∫∫∫
2.
Чтобы одновременно избавиться от радикалов
k
x
и
m
x
, достаточно
сделать подстановку
n
t
x
=
, где – наименьшее общее кратное
показателей степени k и m.
n
Пример 2. Вычислить
∫
+
3
xx
dx
.
Подстановка
6
t
x
= дает
3
tx =
,
2
3
tx =
и d
t
t
dx
5
6
=
. Тогда
∫∫∫
+
=
+
=
+
1
66
3
23
5
3
t
dtt
tt
dtt
xx
dx
.
Приведем рациональное выражение
1
3
+
t
t
к правильной дроби:
1
1
3)1(3)1(
1
)1)1((
1
2
33
+
−++−+=
+
−+
=
+
t
tt
t
t
t
t
.
Интегрируем почленно и затем возвращаемся к исходной переменной x:
.|1|ln3
2
)1(3
3
)1(
|1|ln3
2
)1(3
3
)1(
1
66
2
6
3
6
233
Cxx
xx
Ctt
tt
t
dtt
++−+
+
−
+
=
++−+
+
−
+
=
+
∫
Таким образом,
Cxxxx
xx
dx
++−++−+=
+
∫
|1|ln618)1(9)1(2
66
2
6
3
6
3
.
3.
Избавление от иррациональности вида
n
dcx
bax
+
+
достигается
подстановкой
n
t
dcx
bax
=
+
+
. При этом
c
a
bdt
x
n
n
−
−
=
.
83

Страницы